Psikologi Ketertarikan Interpersonal dalam Internet

Dalam berinternet para netter dibuai dengan banyaknya fitur internet seperti mailing, chatting, gaming, serta jejaring sosial. Dalam menggunakan fitur tersebut kita biasanya tidak lah sendiri, melainkan kita bertemu netter lain baik secara langsung maupun tidak dan karena hal tersebut muncullah komunikasi diantara para netter karena desakan kebutuhan manusia seperti kebutuhan akan aktualisasi diri dan kebutuhan akan eksistensi orang lain. Dari komunikasi itulah timbul ketertarikan antara netter satu dengan lainnya seperti seorang gamer yang menjagokan karakter buatan orang lain yang jauh lebih kuat dari karakter game yang ia buat, atau seorang pengguna jejaring sosial yang tertarik dengan lawan jenis setelah melihat gambar profil orang lain yang dianggapnya menarik, bahkan dengan fitur teleconference yang juga disediakan dalam berinternet menambah peluang terjadinya ketertarikan antara netter satu dengan lainnya.

Hambatan Psikologi dalam Interpersonal-Relation

Sejalan berkembangnya ketertarikan interpersonal dalam internet muncullah suatu relationship (hubungan) seperti pertemanan, murid-guru, kelompok, hubungan kerja, bahkan hubungan kekasih. Namun dalam berjalannya hubungan tersebut tidak sepenuhnya lancar atau aman, bahkan ada beberapa kejadian dimana suatu hubungan harus hancur karena beberapa hal yaitu :

Identitas Palsu, dalam dunia maya seorang netter dapat menggunakan identitas palsu seperti identitas palsu yang dirancang seseorang pada akun facebooknya, atau bisa juga orang tersebut memalsukan sebagian statusnya seperti seorang yang telah menikan memasang status single pada facebooknya untuk mencari perhatian orang lain atau memudahkannya mencapai sesuatu.

Kurang Terjaminnya Komitmen, setiap hubungan dibutuhkan adanya komitmen dimana kedua belah pihak memiliki suatu persetujuan yang bersifat mengikat. Dalam dunia maya seseorang bisa saja berjanji dan kemudian pooof menghilang begitu saja dan melupakan semua kesepakatan seperti pada kegiatan jual beli online sering terjadi penipuan dimana korban telah menyetor uang tetapi barang tidak dikirim atau sebaliknya, dan kemudian penjual atau pembeli yang belum memenuhi janjinya itu menghilang atau tidak online lagi.

Kurang Berlakunya Norma dan Etika, sering jika anda berkunjung ke situs (yahoo.com) dimana situs tersebut memberikan informasi tentang suatu hal mengenai suatu agama, ragam, atau suku maka anda akan menemui komentar-komentar yang diketik dengan eksplisit dimana pada komentar tersebut menjelek-jelekkan suatu RAS, baik komentar pro ataupun kontra.

Perilaku Negatif dalam Interpersonal Online-Relation

Selain adanya hambatan dalam terjalinnya hubungan di dunia maya di dalamnya juga terdapat beberapa perilaku negatif seperti adanya cyber-cheating dan cyber flirting.

Cyber Cheating, atau perselingkuhan yang terjadi di internet dapat terjadi ketika seseorang yang telah memiliki pasangan memiliki hubungan yang dekat pula dengan orang lain. Misalkan seorang istri memiliki akun jejaring sosial dimana mantannya masih terdaftar dalam daftar temanya dan selama ini dia sering chatting dengan kata-kata mesra dan menggoda dengan mantannya itu, maka hal tersebut dapat dikatakan dengan cyber-cheating.

Cyber Flirting, atau merayu yang dilakukan dalam dunia maya. cyber flirting adalah suatu hal yang umum yang terjadi di jejaring sosial bahkan game. Namun dalam terjadinya banyak terjadi ketidak amanan yang membuatnya dikategorikan sebagai perilaku negatif, contohnya adalah dalam cyber flirting orang bisa menggunakan bahasa yang tidak pantas, ditambah lagi jika dalam terjadinya terdapat kepalsuan identitas maka semakin menjadi perilaku negatif cyber flirting tersebut.

Keterbatasan saat melakukan interpersonal online relation

Biaya yang dikeluarkan lebih banyak daripada berkomunikasi menggunakan telapon karena harus mempunyai prangkat pc atau laptop beserta dengan jaringan telapon yang disambungkan untuk mengakses internet itu sendiri.

Sumber: deathneverlost.wordpress.com/2012/11/18/psikologi-dan-internet-dalam-lingkup-interpersonal/

NPM	NAMA	KERJA
11513981	Damar	Cyber Cheating
14513212	Iga Puspitasari	Cyber Flinting
16513997	Putri Andriani	Hambatan Psikologi
17513644	Riesa Callista	Keterbatasan dalam Interpersonal Online Relation
19513085	Valinka Isabella Putri Korompis	Dampak Negatif
19513515	Yosua rulianto	Dampak Negatif

Internet Addiction

Internet Addiction

Seperti halnya adiksi terhadap zat, adiksi internet dapat diartikan sebagai pemakaian internet secara terus-menerus sehingga dapat mengganggu kehidupan sehari-hari penderitanya. Pada masa kini, internet sudah sebagai kebutuhan umum bagi masyarakat. Mereka mengerjakan berbagai hal dengan mengandalkan internet. Seiring berkembangnya internet dan juga alat elektronik yang semakin berkembang menjadikan masyarakat pada masa kini sangat bergantung pada internet dengan alat elektronik yang juga mendukung jalannya proses internet tersebut. Dengan menggunakan smartphone mereka sudah bias mengakses internet untuk sekedar chatting atau mencari informasi atau berita di aplkasi browser. Internet telah membawa perubahan yang revolusioner tidak hanya di ruang lingkup computer, tetapi juga didunia komunikasi. Namun, internet juga dapat menimbulkan suatu hal yang berdampak tidak terlalu baik bagi pengguna internet. Bukan hal yang mustahil bila ada orang yang merasa kecanduan dan susah untuk meninggalkan kebiasaan menggunakan internet.

Salah satu gejala kecanduan internet adalah sering lupa waktu saat mengakses internet. Mereka bisa berjam-jam menggunakan internet hanya untuk chatting, browsing, ataupun bermain game online. Kecanduan internet pada anak-anak merupakan simtom psikologis dan berkaitan dengan gangguan fisiologis yang muncul dalam bentuk ketergantungan yang berlebiyhan terhadap World Wide Web.

Kecanduan internet mempunyai gejala serupa dengan kecanduan obat-obatan. Hal itu telah diteliti di beberapa Negara Asia seperti China dan Korea Selatan. Dengan internet sebagai teman terdekat setiap saat, kecanduan internet adalah bukan hal yang mustahil. Beberapa ahli kejiawaanmenyebut keadaan ini sebagai Internet Addiction Disorder or Problematic Internet Use (Gangguan Kecanduan Internet atau Penggunaan Internet yang Problematik). Kebanyakan penelitian menemukan kecanduan internet lebih umum terjadi pada laki-laki, tetapi beberapa menemukan jumla perempuan lebih besar atau tak ada perbedaan gender.

Faktor Etiologi

Faktor Etiologi adalah factor-faktor penyebab bagi pengguna internet yang kecanduan. Namun itu tidak terjadi secara begitu saja, melainkan ada sebab-sebab yang menyertainya, karena suatu perilaku kecanduan terjadi oleh periode waktu-waktu tertentu sebagai hasil interaksional dan adanya perilaku menyimpang.

a.      Cognitive-Behavioral Model

Cognitive-Behavioral Model adalah emosional, fisiologis, dan perilaku respon individu sebagai dimediasi oleh persepsi mereka tentang pengalaman, yang dipengaruhi oleh keyakinan mereka dengan cara karakteristik mereka berinteraksi dengan dunia, serta oleh pengalaman sendiri. Dari perspektif ini, pecandu internet ditampilkan arti-penting kegiatan, sering mengalami keinginan dan perasaan disibukkan dengan internet saat offline. Ia juga menunjukkan bahwa menggunakan internet sebagai cara untuk menghindari perasaan menggangu, mengembangkan toleransi internet untuk mencapai kepuasan, mengalami penarikan, kapan mengurangi penggunaan internet, penderitaan saat meningkatnya konflik dengan orang lain karena aktivitas, dan kambuh kembali ke internet juga tanda-tanda kecanduan.

b.      Neuropsychological Model

Neuropsychological Model adalah ilmu yang mempelajari tentang struktur dan fungsi otak yang berkaitan dengan suatu perilaku yang terjadi pada individu. Seorang individu akan diklasifikasikan sebagai pecandu internet asalkan ia memenuhi apa pun dari tiga kondisi berikut :

1.      Salah satu akan merasa bahwa lebih mudah untuk mencapai aktualisasi diri secara online daripada di kehidupan nyata.

2.      Salah satu akan mengalami dysphoria dan depresi setiap kali akses ke internet rusak atau tidak berfungsi.

3.      Mereka akan berusaha menyembunyikan waktu penggunaan internet dari keluarga.

Sumber  :

michelleguerranathan.wordpress.com/2013/11/14/internet-addiction-faktor-etiologicompensation-theory/

fauziaputri.wordpress.com/2013/12/01/internet-addiction/

ururureaoka.blogspot.com/2011/06/internet-addiction-kecanduan-internet.html

NPM	NAMA	PERAN
11513981	Damar	Mencari Referensi
14513212	Iga Puspitasari	Mencari Referensi
16513997	Putri Andriani	Mencari Referensi
17513644	Riesa Callista	Mencari Sumber
19513085	Valinka Isabella Putri Korompis	Menusun Tulisan dan Tabel
19513515	Yosua Rulianto	Mencari Sumber

Logika

proposisi

Tautologi Adalah suatu ekspresi logika yang selalu bernilai benar di dalam tabel kebenarannya, tanpa memperdulikan nilai kebenaran dari proposisi-proposisi yang berada didalamnya.

Kontradiksi Adalah Suatu ekspresi logika yang selalu bernilai salah di dalam tabel kebenarannya, tanpa memperdulikan nilai kebenarannya dari proposisi-proposisi yang berada di dalamnya.

Tabel Kebenaran

ALJABAR LOGIKA

- Pernyataan/Proposisi

Pernyataan adalah suatu kalimat yang mempunyai nilai kebenaran (benar atau salah) tetapi tidak keduanya.

Contoh:

p = Tadi malam BBM mulai naik (memiliki nilai kebenaran benar/true).

q = 23 = 32 (memiliki nilai kebenaran salah/false).

- Negasi/lingkaran

Negasi suatu kalimat akan mempunyai nilai kebenaran yang berlawanan dengan nilai kebenaran kalimat aslinya. Jadi jika nilai p bernilai benar maka bernilai salah. Sebaliknya jika p bernilai salah, maka akan bernilai benar.

- Membuat kesimpulan

NEGASI LINGKARAN

Dalam logika matematika, negasi atau ingkaran adalah operasi matematika terhadap suatu pernyataan, baik tunggal maupun majemuk. Operasi negasi membalikkan nilai kebenaran suatu pernyataan. Jika p bernilai benar maka ~p bernilai salah. Sebaliknya, jika p bernilai salah, maka ~p bernilai benar. Bentuk ~p biasa dibaca “bukan p”, “tidak p”, “tidak benar bahwa p”, dsb.

 http://vynhe.blogspot.com/2013/07/tautologi-kontradiksi-aljabar-logika.html

http://nadyanavyanti.blogspot.com/2013/06/tautologi-dan-kontradiksi-aljabar.html

http://christoperjohan.blogspot.com/2012/09/logika-logic.html

Proposisi

KONSEP DAN NOTASI DASAR PROPOSISI

Proposisi

Di dalam matematika, tidak semua kalimat berhubungan dengan logika. Hanya kalimat yang bernilai benar atau salah saja yang digunakan dalam penalaran. Kalimat tersebut dinamakan proposisi (preposition).

Proposisi adalah kalimat deklaratif yang bernilai benar (true) atau salah (false), tetapi tidak dapat sekaligus keduanya. Kebenaran atau kesalahan dari sebuah kalimat disebut nilai kebenarannya (truth value).

Contoh berikut ini dapat mengilustrasikan kalimat yang merupakan proposisi dan mana yang bukan.

Contoh 1.1

a)    6 adalah bilangan genap

b)    Soekarno adalah Presiden Indonesia yang pertama

c)    2 + 2 = 4

d)    Ibukota Provinsi Jawa Barat adalah Semarang

e)    12 ≥ 19

f)     Kemarin hari hujan

g)    Suhu di permukaan laut adalah 21 derajat celcius

h)   Pemuda itu tinggi

i)     Kehidupan hanya ada di Planet Bumi

Semuanya merupakan proposisi. Proposisi a, b, c bernilai benar, tetapi proposisi d salah karena ibukota Jawa Barat seharusnya Bandung dan proposisi e bernilai salah karena seharusnya 12 ≤ 19. Proposisi f sampai I memang tidak dapat langsung ditetapkan kebenarannya, namun satu hal yang pasti, proposisi-proposisi tersebut tidak mungkin benar dan salah sekaligus. Kita bisa menetapkan nilai proposisi tersebut benar atau salah. Misalnya, proposisi f bias kita andaikan benar (hari kemarin memang hujan) atau salah (hari kemarin tidak hujan). Demikian pula halnya untuk proposisi g dan h. Proposisi i bias benar atau salah, karena sampai saat ini belum ada ilmuwan yang dapat memastikan kebenarannya.

Contoh 1.2

a)    Jam berapa kereta api Argo Bromo tiba di Gambir?

b)    Serahkan uangmu sekarang!

c)    x + 3 = 8

d)    x > 3

bukan proposisi. Kalimat a adalah kalimat Tanya, sedangkan kalimat b adalah kalimat perintah, keduanya tidak mempunyai nilai kebenaran. Dari contoh 1.1 dan 1.2 di atas, dapat disimpulkan bahwa proposisi selalu dinyatakan sebagai kalimat berita, bukan sebagai kalimat Tanya maupun kalimat perintah. Kalimat c dan d bukan proposisi karena kedua kalimat tersebut tidak dapat ditentukan benar maupun salah sebab keduanya mengandung peubah (variable) yang tidak dispesifikasikan nilainya. Tetapi kalimat

“Untuk sembarang bilangan bulat n ≥ 0, maka 2n adalah bilangan genap”

Bidang logika yang membahas proposisi dinamakan kalkulus proposisi(propositional calculus) atau logika proposisi (propositional logic).

Secara simbolik, proposisi biasanya dilambangkan dengan huruf kecil sepertip, q, r, …. misalnya,

p: 6 adalah bilangan genap,

Untuk mendefinisikan p sebagai proposisi “6 adalah bilangan genap”. Begitu juga untuk

q : soekarno adalah Presiden Indonesia yang pertama.

r : 2 + 2 = 4.

dan sebagainya.

Mengkombinasikan Proposisi

Operator yang digunakan untuk mengkombinasikan proposisi disebutoperator logika. Operator logika dasar yang digunakan  adalah dan (and),atau (or), dan tidak (not). Dua operator pertama dinamakan operator binerkarena operator tersebut mengoperasikan dua buah proposisi, sedangkan  operator ketiga dinamakan operator uner karena ia hanya membutuhkan satu buah proposisi.

Proposisi baru yang diperoleh dari pengkombinasian tersebut dinamakanproposisi majemuk (compound proposition). proposisi yang bukan merupakan kombinasi proposisi lain disebut proposisi atomik. Proposisi majemuk ada tiga macam, yaitu konjungsi, disjungsi, dan ingkaran. Ketiganyadidefinisikan sebagai berikut:

DEFINISI. Misalkan  dan adalah proposisi. Konjungsi (conjunction) dan , dinyatakan dengan notasi , adalah proposisi

p dan

Disjungsi (disjunction)  dan , dinyatakan dengan notasi , adalah proposisi

p atau

Ingkaran atau (negation) dari , dinyatakan dengan p, adalah proposisi tidak p

Catatan:

    Beberapa literatur menggunakan notasi “p”, ””, atau ”not p” untuk menyatakan lingkaran.

    Kata “tidak” dapat dituliskan di tengah pernyataan. Jika kata “tidak” diberikan di awal pernyataan maka ia biasanya disambungkan dengan kata “benar” menjadi “tidak benar”. Kata “tidak” dapat juga diganti dengan “bukan” bergantung dengan rasa bahasa yang tepat untuk pernyataan tersebut.

Berikut contoh-contoh proposisi majemuk dan notasi simboliknya. Ekspresi proposisi majemuk dalam notasi simbolik disebut juga ekspresi logika.

Contoh 1.2

Diketahui proposisi-proposisi berikut:

p: Hari ini hujan

q : Murid-murid diliburkan dari sekolah

Maka

pq : Hari ini hujan dan murid-murid diliburkan dari sekolah

pq : Hari ini hujan atau murid-murid diliburkan dari sekolah

p : Tidak benar hari ini hujan (atau dalam kalimat lain yang lebih lazim: Hari ini tidak hujan)

Tabel Kebenaran

Nilai kebenaran dari proposisi majemuk ditentukan oleh nilai kebenaran dari proposisi atomiknya dan cara mereka dihubungkan oleh operator logika.

    Misalkan p dan q adalah proposisi.

    Konjungsi p ^ q bernilai benar jika p dan q keduanya benar, selain itu nilainya salah

    Disjungsi p v q bernilai salah jika p dan q keduanya salah, selain itu nilainya benar

    Negasi p, yaitu ~p, bernilai benar jika p salah, dan sebaliknya

Misalkan

p: 17 adalah bilangan prima

q: bilangan prima selalu ganjil

jelas bahwa p bernilai benar dan q bernilai salah sehingga konjungsi

p ^ q: 17 adalah bilangan prima dan bilangan prima selalu ganjil adalah salah.

Satu cara yang praktis untuk menentukan nilai kebenaran proposisi majemuk adalah menggunakan tabel kebenaran. Tabel kebenaran menampilkan hubungan antara nilai kebenaran dari proposisi atomik. Tabel 1.1 menunjukkan tabel kebenaran untuk konjungsi, disjungsi, dan ingkaran. Pada tabel tersebut, T=true(benar), dan F=false(salah).

Contoh soal: Jika p, q, radalah proposisi. Bentuklah tabel kebenaran dari ekspresi logika

(p ^ q) v (~q ^ r)

Penyelesaian:

Ada 3 buah proposisi atomic di dalam ekspresi logika dan setiap proposisi hanya mempunyai 2 kemungkinan nilai, sehingga jumlah kombinasi dari semu proposisi tersebut adalah  buah. Tabel kebenaran dari proposisi (p ^ q) v (~q ^ r) ditunjukkan pada tabel 1.2.

Proposisi majemuk dapat selalu bernilai benar untuk berbagai kemungkinan nilai kebenaran masing-masing proposisi atomiknya, atau selalu bernilai salah untuk berbagai kemungkinan nilai kebenaran masing-masing proposisi atomiknya. Jadi, sebuah proposisi majemuk disebut tautologi jika ia benar untuk semua kasus, sebaliknya disebut kontradiksi jika ia salah untuk semua kasus.

Yang dimaksud dengan “semua kasus” di dalam definisi si atas adalah semua kemungkinan nilai kebenaran dari proposisi atomiknya. Proposisi tautologi dicirikan pada kolom terakhir pada tabel kebenarannya hanya memuat True. Proposisi kontradiksi dicirikan pada kolom terakhir pada tabel kebenarannya hanya memuat False.

Hukum – Hukum Proposisi

Proposisi, dalam kerangka hubungan ekivalen logika, memenuhi sifat-sifat yang dinyatakan dalam sejumlah hukum pada tabel di bawah.Beberapa hukum tersebut mirip dengan hukum aljabar pada system bilangan riil, misalnya a(b + c) = ab + ac, yaitu hukum distributif, sehingga kadang-kadang hukum logika proposisi dinamakan juga hukum-hukum aljabar proposisi.

    1. Hukum identitas

i.            p v F ó p

ii.            p ^ T ó p

    2. Hukum null dominasi

i.            p ^ F ó F

ii.            p v T ó T

    3. Hukum negasi

i.            p v ~p ó T

ii.            p ^ ~p ó F

    Hukum idempotent

i.            p v p ó p

ii.            p ^ p ó p

    5. Hukum involusi

~(~p) ó p

    Hukum penyerapan

i.            p v (p ^ q) ó p

ii.            p ^ (p v q) ó p

    7. Hukum komutatif

i.            p v q ó q v p

ii.            p ^ q ó q ^ p

    Hukum assosiatif

i.            p v (q v r) ó (p v q) v r

ii.            p ^ (q ^ r) ó (p ^ q) ^ r

    9. Hukum distributif

i.            p v (q ^ r) ó (p v q) ^ (p v r)

ii.            p ^ (q v r) ó (p ^ q) v (p ^ r)

10.  Hikum de morgan

i.            ~(p ^ q) ó ~p v ~q

ii.            ~(p v q) ó ~p ^ ~q

Hukum-hukum logika di atas bermanfaat untuk membuktikan ke-ekivalenan dua buah proposisi. Selain menggunakan tabel kebenaran, ke-ekivalenan dapat dibuktikan dengan hukum-hukum logika, khususnya pada proposisi majemuk yang mempunyai banyak proposisi atomik. Bila suatu proposisi majemuk mempunyai n buah proposisi atomic, maka table kebenarannya terdiri dari  baris. Untuk n yang besar jelas tidak praktis menggunakan tabel kebenaran, misalnya untuk n=10 terdapat  baris di dalam tabel kebenarannya.

Implikasi

Adalah suatu pernyataan majemuk p dan q yang digabung dengan memakai kata hubung logika “jika…maka…”.

Implikasi suatu pernyataan dilambangkan dengan p→q. Dibaca :

     Jika p maka q

     p berimplikasi q

     q hanya jika p

     p syarat cukup untuk q

     q syarat perlu untuk p

Pada  implikasi, p disebut anteseden (hipotesis), q disebut konklusi (kesimpulan).

Nilai kebenaran: untuk p→q bernilai salah hanya berlaku untuk p pernyataan bernilai benar dan q pernyataan bernilai salah.

B. TAUTOLOGI

Tautologi adalah pernyataan majemuk yang selalu benar untuk semua kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan komponennya. Sebuah Tautologi yang memuat pernyataan Implikasi disebut Implikasi Logis. Untuk membuktikan apakah suatu pernyataan Tautologi, maka ada dua cara yang digunakan. Cara pertama dengan menggunakan tabel kebenaran, yaitu jika semua pilihan bernilai B (benar) maka disebut Tautologi, dan cara kedua yaitu dengan melakukan penjabaran atau penurunan dengan menerapkan sebagian dari 12 hukum-hukum Ekuivalensi Logika.[1]

Contoh:

Lihat pada argumen berikut:

Jika Tono pergi kuliah, maka Tini juga pergi kuliah. Jika Siska tidur, maka Tini pergi kuliah. Dengan demikian, jika Tono pergi kuliah atau Siska tidur, maka Tini pergi kulah.

Diubah ke variabel proposional:

A  Tono pergi kuliah

B  Tini pergi kuliah

C  Siska tidur

Diubah lagi menjadi ekspresi logika yang terdiri dari premis-premis dan kesimpilan. Ekspresi logika 1 dan 2 adalah premis-premis, sedangkan ekspresi logika 3 adalah kesimpulan.

(1)   A → B                                    (Premis)

(2)   C → B                         (premis)

(3) (A V C) → B              (kesimpulan)

Maka sekarang dapat ditulis: ((A → B) ʌ (C → B)) → ((A V C) → B       

Pembuktian dengan cara kedua yaitu dengan penjabaran atau penurunan dengan menerapkan sebagian dari 12 hukum-hukum ekuivalensi logika.

Pada tabel diatas nampaklah bahwa kalimat majemuk (p ʌ q)  q merupakan Tautologi.

     q  (p v q)

penyelesaian:

q  (p v q)     ~q v (p v q)

 ~q v (q v p)

 T v p

  T …………(Tautologi)

       KONTRADIKSI

Kontradiksi adalah kebalikan dari tautologi yaitu suatu bentuk pernyataan yang hanya mempunyai contoh substansi yang salah, atau sebuah pernyataan majemuk yang salah dalam segala hal tanpa memandang nilai kebenaran dari komponen-komponennya. Untuk membuktikan apakah suatu pernyataan tersebut kontradiksi, maka ada dua cara yang digunakan. Cara pertama dengan menggunakan tabel kebenaran, yaitu jika semua pilihan bernilai F  atau salah maka disebut kontradiksi, dan cara kedua yaitu dengan melakukan penjabaran atau penurunan dengan menerapkan sebagian dari 12 hukum-hukum Ekuivalensi Logika.

       Ekuivalensi Logika

Dua atau lebih pernyataan majemuk yang mempunyai nilai kebenaran sama disebut ekuivalensi logika dengan notasi “ dua buah pernyataan majemuk dikatakan ekuivalen, jika kedua pernyataan majemuk itu mempunyai nilai kebenaran yang sama untuk semua kemungkinan nilai kebenaran pernyataan-pernyataan komponen-komponennya.

Hukum-Hukum Ekuivalensi Logika:

     Hukum komutatif:

p ʌ q  q ʌ p

p v q q v p

     Hukum asosiatif:

(p ʌ q) ʌ r  p ʌ (q ʌ r)

(p v q) v r  p v (q v r)

     Hukum distributif:

p ʌ (q v r)  (p ʌ q) v (p ʌ r)

p v (q ʌ r)  (p v q) ʌ (p v r)

     Hukum identitas:

p ʌ T  p

p v F  p

     Hukum ikatan (dominasi):

P v T  T

P v F  F

     Hukum negasi:

P v ~p  T

P ʌ ~p  F

     Hukum negasi ganda (involusi):

~(~p)  p

     Hukum idempoten:

P ʌ p  p

p v p  p

     Hukum de morgan:

~( p ʌ q)  ~p v ~q

~(p v q)  ~p ʌ ~q

      Hukum penyerapan (absorpsi):

p v (P ʌ q)  p

P ʌ (p v q)  p

     Hukum T dan F:

~T  F

~F  T

     Hukum implikasi ke and/or:

P  q  ~p v q

Dengan adanya hukum-hukum diatas, penyelesaian soal-soal baik yang bersifat tautologi, kontradiksi dan ekuivalensi logika tidak hanya menggunakan tabel kebenaran namun juga bisa dengan menggunakan jalan penurunan yaitu dengan memanfaatkan 12 (dua belas) hukum-hukum ekuivalensi logika tersebut.

Dengan menggunakan prinsip-prinsip di atas, maka kalimat-kalimat yang kompleks dapat disederhanakan.

 Sumber :

http://dedekyohana93.blogspot.com/2012/11/tautologi-kontradiksi-dan-ekuivalensi_4667.html

Definisi Fungsi

DEFINISI FUNGSI

Sebuah fungsi f adalah suatu aturan korespondensi yang menghubungkan setiap objek x dalam satu himpunan, yang disebut daerah asal, dengan sebuah nilai tunggal f(x) dari suatu himpunan kedua. Himpunan nilai yang diperoleh secara demikian disebut daerah hasil fungsi.

Macam-macam Fungsi :

 Fungsi Aljabar : semua fungsi yang menggunakan operasi perhitungan secara aljabar disebut fungsi aljabar, misalnya fungsi kuadrat, fungsi pecahan, fungsi linier dan sebagainya.

Fungsi Eksponen : fungsi eksponen adalah fungsi perpangkatan dengan variabel bebas sebagai pangkatnya. misalnya f(x) = 2x

Fungsi Eksplisit : fungsi eksplisit adalah fungsi yang dapat dibedakan dengan jelas antara variabel bebas dan variabel tidak bebas. contohnya y = 2x – 5 , dalam fungsi ini x sebagai variabel bebas dan y sebagai variabel tidak terbatas, nilai y ditentukan oleh besarnya nilai x, sehingga dapat terlihat dengan jelas perbedaan kedua variabel tersebut.

Fungsi Implisit : fungsi implisit merupakan lawan dari fungsi eksplisit jadi pada fungsi implisist perbedaan antara variaabel bebas dan variabel tidak bebas tidak dapat dibedakan dengan jelas. contohnya f(x,y) = 3x + 4y.

Fungsi Ganjil : suatu fungsi dikatakan ganjil jika dan hanya jika f(-x) = – f(x).

Fungsi Genap : suatu fungsi dikatakan genap jika dan hanya jika f(-x) = f(x). fungsi genap merupakan lawan dari fungsi ganjil.

Fungsi Goniometri : fungsi goniometri juga disebut fungsi trigonometri yaitu fungsi yang memetakan besar sudut dengan bilangan aljabar atau sebaliknya. contohnya y = sin x.

Fungsi Identitas : fungsi identitas dilambangkan dengan notasi “I”, yaitu fungsi yang memetakan setiap anggota domain dengan dirinya sendiri.

Fungsi Into : fungsi into juga disebut fungsi kedalam atau fungsi injektif atau fungsi satu-satu yaitu fungsi yang  memetakan setiap anggota domain dengan tepat sati kawan yang berbeda pada kodomain.

Fungsi Onto : fungsi onto juga disebut fungsi surjektif atau fungsi kepada yaitu suatu fungsi yang setiap anggota daerah hasil merupakan peta dari daerah asal.

Fungsi Bijektif : fungsi bijektif disebut juga fungsi satu-satu kepada yaitu gabungan dari fungsi satu-satu dan fungsi kepada yaitu fungsi yang memetakan setiap anggota domain dengan tepat satu kawan pada kodomain dan setiap anggota kodomain adalah peta dari domain.

Domain disebut juga dengan daerah asal, kodomain daerah kawan sedangkan range adalah daerah hasil.

contoh : Diketahui himpunan P = { 1,2,3,4 } dan himpunan Q = { 2,4,6,8,10,12 }

Relasi dari himpunan P ke himpunan Q dinyatakan dengan ” setengah dari “.

Jika relasi tersebut dinyatakan dengan himpunan pasangan berurutan menjadi :

{ (1,2),(2,4),(3,6),(4,8) }.

Relasi di atas merupakan suatu fungsi karena setiap anggota himpunan P mempunyai tepat satu kawan anggota himpunan Q.

Dari fungsi di atas maka :

Domain/daerah asal = himpunan P = { 1,2,3,4 }

Kodomain/daerah kawan = himpunan Q = { 2,4,6,8,10,12 }

Range/daerah hasil = { 2,4,6,8 }

Note:

Domain, Kodomain, dan Range

    Domain adalah daerah kawan

    b. Kodomain adalah daerah kawan

    c. Range adalah daerah hasil dari himpunan bagian  dari kodomain.

Sumber : http://irmasusandar.blogspot.com/2013/07/fungsi-domain-kodomain-dan-range.html

Relasi

PENGERTIAN RELASI

Definisi Relasi adalah himpunan bagian antara  A(domain) dan B (kodomain) atau relasi yang memasangkan setiap elemen yang ada pada himpunan  A secara tunggal, dengan elemen yang  pada B.

Macam penyajian relasi :

Penyajian Relasi dengan Diagram Panah

 Misalkan A = {3,4,5} dan B = {2,4}.

Jika kita definisikan relasi R dari A ke B dengan aturan :   (a, b) ∈ R jika a faktor prima dari bmaka relasi tersebut dapat digambarkan dengan diagram panah berikut ini :

Penyajian relasi dengan diagram cartesius

Diagram Kartesius menggunakan pasangan koordinat horisontal-vertikal. Setiap titik mewakili ada tidaknya hubungan A dan B.

 Penyajian Relasi berupa Pasangan Terurut

relasi pada diagram panah dapat dinyatakan dalam bentuk pasangan terurut, yaitu :

             R = {(3, 2), (4, 2), (5, 2), (5, 4)}

Penyajian Relasi dengan Tabel

Kolom pertama tabel menyatakan daerah asal, sedangkan kolom kedua menyatakan daerah hasil.

Penyajian Relasi dengan Matriks

Relasi antara A = {a1, a2, …, am} dan B = {b1, b2, …, bn}

Jenis-jenis Relasi

Relasi Invers : Misalkan R merupakan  relasi dari himpunan A ke himpunan B. Invers dari R yang dinyatakan dengan  adalah relasi dari B ke A yang mengandung semua pasangan terurut yang bila dipertukarkan masih termasuk dalam R. Ditulis dalam notasi himpunan sbb ;

R-1= {(b,a) : (a,b)R}

contoh:

A = {1,2,3}           B = {x,y}

R = {(1,x), (1,y), (3,x)} relasi dari A ke B

R-1= {(x,1), (y,1), (x,3)} relasi invers dari B ke A

Relasi Refleksif : Misalkan R = (A, A, P(x,y)) suatu relasi.

R disebut relasi refleksif, jika setiap A berlaku (a,a)R.

Dengan kata lain, R disebut relasi refleksif jika setiap anggota dalam A berelasi dengan dirinya sendiri

Contoh Relasi Refleksif

Diketahui A = {1, 2, 3, 4} dan

R = {(1,1), (2,3), (3,3), (4,2), (4,4)}

Apakah R relasi refleksif ?

R bukan relasi refleksif, sebab (2,2) tidak termasuk dalam R.

Jika (2,2) termasuk dalam R, yaitu R1= {(1,1), (2,2), (2,3), (3,3), (4,2), (4,4)} maka R1merupakan relasi refleksif.

Relasi Simetrik : Misalkan R = (A, B, P(x,y)) suatu relasi.

R disebut relasi simetrik, jika setiap (a,b)R berlaku (b,a)R.

Dengan kata lain, R disebut relasi simetrik jika a R b berakibat b R a.

Contoh Relasi Simetrik

perhatikan satu per satu. Setiap kali kamu menemukan pasangan, misalnya (a, b), maka cari apakah (b, a) juga ada. Kalau ternyata tidak ada, pasti relasi itu tidak simetrik.

Apakah relasi dalam {1, 2, 3, 4} berikut simetrik?

 pembahasan

{(1, 2), (2, 3), (4, 2), (3, 2), (2,4), (1, 1), (3, 3), (2, 1)}

Relasi tersebut simetrik. Mari kita periksa satu per satu.

 kita menemukan (1, 2). Berarti (2, 1) juga harus ada. Ternyata benar.

{(1, 2), (2, 3), (4, 2), (3, 2), (2, 4), (1, 1), (3, 3), (2,1)}

 Relasi anti Simetrik : Suatu relasi R disebut relasi anti simetrik jika (a,b)R dan (b,a)R maka a=b.

Dengan kata lain Jika a, b A, a≠b, maka (a,b)R atau (b,a)R, tetapi tidak kedua-duanya.

Contoh : Misalkan R suatu relasi dalam himpunan bilangan asli yang didefinisikan “y habis dibagi oleh x”, maka R termasuk relasi anti simetrik karena jika b habis dibagi a dan a habis dibagi b, maka a = b.

Misalkan A = {1, 2, 3} dan R1= {(1,1), (2,1), (2,2), (2,3), (3,2)}, maka R1bukan relasi anti simetrik, sebab (2,3)R1dan (3,2)R1pula.l

Relasi Transitif : Misalkan R suatu relasi dalam himpunan A. R disebut relasi transitif jika berlaku ; Jika (a,b)R dan (b,c)R maka (a,c)R.

Dengan kata lain

Jika a berelasi dengan b dan b berelasi dengan c, maka a berelasi dengan c.

Contoh : Misalkan A = {a, b, c} dan R = {(a,b), (a,c), (b,a), (c,b)}, maka R bukan relasi transitif, sebab (b,a)R dan (a,c)R tetapi (b,c)R.

Coba dilengkapi agar R menjadi relasi transitif

R = {(a,a), (a,b), (a,c), (b,a), (b,b), (b,c), (c,a), (c,b), (c,c)}l

Relasi Equivalen : Suatu relasi R dalam himpunan A disebut relasi equivalen jika memenuhi ;

1.Sifat Refleksif

2.Sifat Simetrik

3.Sifat Transitif

Sekian penjelasannya, untuk  lebih paham, ada 1 soal nih.

    Jika A = {1, 2, 3, 4}, berikut diberikan relasi atas A:

R1 = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 4), (4, 1), (4, 4)}

R2 = {(1, 1), (1, 2), (2, 1)}

R3 = {(1, 1), (1, 2), (1, 4), (2, 1), (2,2), (3, 3), (4, 1), (4,4)}

R4 = {(2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3)}

R5 = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3) (2, 4), (3, 3), (3,4), (4, 4)}

R6 = {(3, 4)}

R7 = {(1, 1)}

R8 = {(1, 1), (1, 2), (3, 4), (4, 3)}

Manakah dari kedelapan relasi di atas yang masing-masing bersifat:

refleksif, simetri, anti simetri, transitif, dan yang bukan simetri sekaligus bukan antisimetri.

Pada relasi-relasi di atas yang bersifat refleksif adalah: R3, dan R5.

R1 tidak refleksif karena (3, 3)∉R1.

Relasi yang bersifat simetri: R2, R3, dan R7.

Relasi yang bersifat antisimetri: R4, R5, R6, dan R7.

Relasi yang bersifat transitif: R5, R6, dan R7.

Untuk melihat R3 tidak bersifat transitif, dapat menggunakan tabel

berikut:

(a,b)   (b,c)   (a,c)         Keterangan

(1,1)   (1,2)   (1,2)        Anggota R3

(1,2)   (2,2)   (1,2)        Anggota R3

(1,4)   (4,1)   (1,1)        Anggota R3

(2,1)   (1,4)   (2,4)        Bukan anggota R3

(2,2)   (2,1)   (2,1)        Anggota R3

Untuk melihat R5 bersifat transitif, lihat tabel berikut:

R5 = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2,2), (2,3), (2,4), (3, 3), (3, 4), (4, 4)}

(a,b)   (b,c)   (a,c)         Keterangan

(1,1)   (1,2)   (1,2)        Anggota R5

(1,2)   (2,2)   (1,2)        Anggota R5

(1,3)   (3,3)   (1,3)        Anggota R5

(1,4)   (4,1)   (1,1)        Anggota R5

(2,2)   (2,4)   (2,4)        Bukan anggota R3

(2,3)   (2,1)   (2,1)        Anggota R3

(2,4)  

(3,3)  

(3,4)  

(4,4)  

Relasi yang bukan simetri dan bukan pula antisimetri: R1, dan R8.

 partisi adalah memecah/ membagi suatu himpunan  menjadi beberapa himpunan bagian tak-kosong  yang mana setiap elemen  tepat termuat di satu himpunan bagian. Himpunan bagian ini disibut sel dari partisi.

  SUMBER :

http://budysantoso40.blogspot.com/2012/09/relasi.html

http://ariaturns.wordpress.com/2010/05/30/relasi-ekuivalen-kelas-ekuivalensi-dan-partisi/

Himpunan

A.    Pengertian Himpunan

Konsep himpunan mendasari hampir semua cabang matematika. Gerorg Cantor  dianggap sebagai  Bapak teori himpunan. Himpunan merupakan kumpulan benda-benda atau objek-objek yang didefinisikan dengan jelas. Istilah didefinisikan dengan jelas dimaksukkan agar orang dapat menentukan apakah suatu benda merupakan anggota himpunan yang dimaksud tadi atau tidak.

Anggota atau elemen adalah benda-benda atau objek-objek yang termasuk dalam sebuah himpunan.

Contoh:

Himpunan yang merupakan himpunan:

-          Himpunan anak yang berusia 12 tahun

-          Himpunan bilangan asli genap

-          Himpunan pulau-pulau di Indonesia

Himpunan yang bukan merupakan himpunan:

-          Himpunan anak-anak malas

-          Himpunan wanita-wanita cantik

-          Himpunan lukisan indah

B.     Cara Penulisan Himpunan

Ada empat cara untuk menyatakan suatu himpunan

1)      dengan menyebutkan semua anggotanya (roster) yang diletakkan di dalam sepasang tanda kurung kurawal, dan di antara setiap anggotanya dipisahkan dengan tanda koma. Cara ini disebut juga cara Tabulasi.

Contoh:     A = {a, i, u, e, o}

B = {Senin, Selasa, Rabu, Kamis, Jumat, Sabtu, Minggu}

2)      menyebutkan syarat anggota-anggotanya, cara ini disebut juga cara Deskripsi.

Contoh: ambil bilangan asli kurang dari 5

A = bilangan asli kurang dari 5

3)      Notasi Pembentuk Himpunan : dengan menuliskan ciri-ciri umum atau sifat-sifat umum (role) dari anggotanya.

Contoh Soal :

Nyatakan dengan notasi himpunan dengan menuliskan tiap-tiap anggotanya dan sifat-sifatnya himpunan berikut ini :

1.            A adalah himpunan bilangan asli antara 1 dan 6

2.            B adalah himpunan mata kuliah yang anggotanya adalah : kalkulus, logika matematika, matematika diskrit, statistika, fisika

3.            C adalah himpunan bilangan riil yang lebih besar dari 5

4.            D adalah himpunan yang terdiri dari bilangan 2, 4, 6, 8, 10

5.            E adalah himpunan bilangan riil lebih kecil dari 5 dan lebih besar dari 10

Penyelesaian :

1.            A adalah himpunan bilangan asli antara 1 dan 6

      ·       Dengan menulis tiap-tiap anggotanya

               A = {2, 3, 4, 5}

                  ·       Dengan menulis sifat-sifatnya

            A = {x | 1 < x < 6, x Î Asli}

2.            B adalah himpunan mata kuliah yang anggotanya adalah : kalkulus, logika matematika, matematika diskrit, statistika, fisika

         ·       Dengan menulis tiap-tiap anggotanya

B = {kalkulus, logika matematika, matematika diskrit, statistika, fisika}.

         ·       Dengan menulis sifat-sifatnya

B tidak bisa dituliskan sifat-sifatnya, karena tidak ada sifat yang sama di antara anggota-anggotanya

3.            C adalah himpunan bilangan riil yang lebih besar dari 5

·         Dengan menulis tiap-tiap anggotanya C tidak bisa dituliskan anggota-anggotanya, karena jumlah anggota C tak terhingga.

·         Dengan menulis sifat-sifatnya

C = {x | x > 5, x Î Riil}     

4.            D adalah himpunan yang terdiri dari bilangan 2, 4, 6, 8, 10

·         Dengan menulis tiap-tiap anggotanya

D = {2, 4, 6, 8, 10}

·         Dengan menulis sifat-sifatnya

D = {x | x adalah 5 buah bilangan asli pertama yang genap}

5.            E adalah himpunan bilangan riil lebih kecil dari 5 dan lebih besar dari 10

·         Dengan menulis tiap-tiap anggotanya

      E = tidak bisa dituliskan anggota-anggotanya, karena jumlah anggota E tak terhingga.

·         Dengan menulis sifat-sifatnya

E = {x | x < 5 dan x > 10, x Î Riil}

4)      Himpunan juga dapat di sajikan secara grafis (Diagram Venn).

Penyajian himpunan dengan diagram Venn ditemukan oleh seorang ahli matematika Inggris bernama John Venn tahun 1881. Himpunan semesta digambarkan dengan segiempat dan himpunan lainnya dengan lingkaran di dalam segiempat tersebut.

Contoh :

Gambarkan dengan diagram Venn himpunan-himpunan  berikut ini :

1.      S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A = {1, 3, 5, 7} dan B = {0, 3, 7, 9}

2.      S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A = {0, 1, 3, 7} dan B = {2, 4, 6}

3.      S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A = {0, 1, 2, 3, 5, 6, 7} dan B = {0, 1, 3, 7}

         Penyelesaian :

1.            S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A = {1, 3, 5, 7} dan B = {0, 3, 7, 9}

2.            S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A = {0, 1, 3, 7} dan B = {2, 4, 6}

3.            S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A = {0, 1, 2, 3, 5, 6, 7} dan B = {0, 1, 3, 7}

C.    Keanggotaan Himpunan (Menurut Buku Ensiklopedia Matematika)

Himpunan selalu dinyatakan dengan huruf besar,seperti A,B,C,dan seterusnya. Untuk menyatakan anggota suatu himpunan digunakan lambang “Δ (baca: anggota) sedangkan untuk menyatakan bukan anggota suatu himpunan digunakan lambing” Ï” (baca: bukan anggota).

A = {a, b, c} menyatakan bahwa himpunan A anggota-anggotanya adalah a, b, dan c.

Ditulis: a Î A; b Î A; dan c Î A

Bukan keanggotaan suatu himpunan A.

Jika A = {a, b, c} maka d bukan anggota himpunan A.

Ditulis: d Ï A. Banyaknya anggota himpunan

·         Banyaknya unsur dari suatu himpunan disebut bilangan cardinal dari himpunan tersebut │A│dibaca “banyaknya anggota himpunan A, kardinal (A).

Contoh Soal:

Tentukan kardinalitas dari himpunan berikut :

1.            A = {2, 4, 6, 8, 10}

2.            B = {x | 1 < x < 6, x Î Asli}

3.            C = {x | x > 5, x Î Riil}

4.            D = {x | x bilangan cacah yang lebih kecil dari 10}

5.            E = {x | x bilangan prima yang lebih kecil dari 15}

         Penyelesaian :

1.            A = {2, 4, 6, 8, 10}

                  n (A) = 5

2.            B = {x | 1 < x < 6, x Î Asli}

                  B = {2, 3, 4, 5}

                  n(B) = 4

3.            C = {x | x > 5, x Î Riil}

                  n(C) = ~

4.            D = {x | x bilangan cacah yang lebih kecil dari 10}

                  D = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ,9}

                  n(D) = 10

5.            E = {x | x bilangan prima yang lebih kecil dari 15}

                  E = {2, 3, 5, 7, 11, 13}

            n(E) = 6

D.    Macam-Macam Himpunan (Menurut buku Ensiklopedia Matematika)

1)      Himpunan Bagian (Subset).

Himpunan A dikatakan  himpunan  bagian  (subset)  dari  himpunan B ditulis A ⊂ B ”, jika setiap anggota A merupakan anggota dari B.

Dinyatakan dengan simbol :   A ⊂  B 

Syarat :

A ⊂ B, dibaca : A himpunan bagian dari B

A ⊂ B, dibaca : A bukan himpunan bagian dari B

B  ⊂  A dibaca : B bukan himpunan bagian dari A

B  ⊂  A dibaca : B bukan himpunan bagian dari A

Contoh :

Misal   A = { 1,2,3,4,5 } dan B = { 2,4} maka         B ⊂ A

Sebab  setiap  elemen  dalam  B merupakan  elemen  dalam A,  tetapi  tidak sebaliknya.

Penjelasan : Dari definisi diatas himpunan bagian harus mempunyai unsur himpunan A  juga merupakan unsur himpunan B.artinya kedua himpunan itu harus saling berkaitan.

2)      Himpunan Kosong (Nullset)

Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai unsur anggota yang sama sama sekali.

Syarat :

Himpunan kosong = A atau { }

Himpunan kosong adalah tunggal

Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari setiap himpunan

Perhatikan : himpunan kosong tidak boleh di nyatakan dengan { 0 }.

Sebab : { 0 } ≠ { }

Contoh :

A = {x Î R |x2 + 4 = 0 }

Dalam hal ini jelas tidak ada harimau yang hidup di air  maka A = ø

Penjelasan : dari definisi diatas himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai satupun anggota, dan biasanya himpunan kosong dinotasikan dengan huruf yunani ø (phi).

3)      Himpunan Semesta

Himpunan semesta biasanya dilambangkan dengan “U” atau “S” (Universum) yang berarti himpunan yang memuat semua anggota yang dibicarakan atau kata lainya himpunan dari objek yang sedang dibicarakan. Biasanya hinpunan semesta ditetapkan sebelum kita membicarakan suatu himpunan dengan demikian seluruh himpunan lain dalam pembicaraan tersebut merupakan bagian dari himpunan pembicaraan.

Contoh : Apabila kita membicarakan himpunan A maka yang dapat menjadi himpunan semesta adalah: U = himpunan bilangan cacah

4)      Himpunan Berhingga

Himpunan A berhingga apabila A memiliki anggota himpunan tertentu atau n(A) = a, a  bilangan cacah. Dengan perkataan lain, himpunan berhingga adalah himpunan yang banyak anggotanya dapat dinyatakan dengan suatu bilangan cacah.

Contoh :

a. A =  karena                                                        n(A) = 0, 0  bilangan cacah.

b. B =                                                        n(B) = 75, 75  bilangan cacah.

5)      Himpunan Tak Berhingga

Himpunan A disebut himpunan tak berhingga apabila tidak memenuhi syarat himpunan berhingga. Himpunan A apabila anggota-anggotanya sedang dihitung, maka proses perhitunganya tidak akan berakhir. Dengan perkataan lain himpunan A, n banyak anggotanya tidak dapat ditentukan/ditulis dengan bilangan cacah.

Contoh :

Q=

Apabila kita menghitung anggota himpunan Q, maka proses perhitungan anggota Q tidak akan berakhir. Jadi Q adalah himpunan tak berhingga dan n(Q) = ~.

6)      Himpunan Sama (Equal)

Bila setiap anggota himpunan A juga merupakan anggota himpunan B, begitu pula sebaliknya.

Syarat : Dua buah himpunan anggotanya harus sama.

Contoh :

A ={ c,d,e}

B={ c,d,e }

Maka A = B

Penjelasan : Himpunan equal atau himpunan sama,memiliki dua buah himpunan yang anggotanya sama misalkan anggota himpunan A {c,d,e} maka himpunan B pun akan memiliki anggota yaitu { c,d,e }.

7)      Himpunan Lepas

Himpunan lepas adalah suatu himpunan yang anggota-anggotanya tidak ada yang sama.

Contoh  C = {1, 3, 5, 7}   dan  D = {2, 4, 6}  Maka himpunan C dan himpunan D saling lepas.

Catatan : Dua himpunan yang tidak kosong dikatakan saling lepas jika kedua himpunan itu tidak mempunyai satu pun anggota yang sama

8)      Himpunan Komplemen (Complement set)

Himpunan komplemen dapat di nyatakan dengan notasi AC . Himpunan komplemen jika di misalkan U = {1,2,3,4,5,6,7} dan A = {3,4,5} maka A ⊂ U. Himpunan {1,2,6,7} juga merupakan komplemen, jadi AC = {1,2,6,7}. Dengan notasi pembentuk himpunan ditulis : AC = {x│x Î U, x Ï A}

9)      Himpunan Ekuivalen (Equal Set)

Himpunan ekuivalen adalah himpunan yang anggotanya sama banyak dengan himpunan lain.

Syarat : Bilangan cardinal dinyatakan dengan notasi n (A) A≈B, dikatakan sederajat atau ekivalen, jika himpunan A ekivalen dengan himpunan B,

Contoh :

A = { w,x,y,z }→n (A) = 4

B = {  r,s,t,u   } →n  (B) = 4

Maka n (A) =n (B) →A≈B

Penjelasan : himpunan ekivalen mempunyai bilangan cardinal dari himpunan tersebut, bila himpunan A  beranggotakan 4 karakter maka himpunan B pun beranggotakan 4.

E.     Operasi pada Himpunan

a)      Gabungan

Gabungan (union) dari himpunan A dan B adalah himpunan yang setiap anggotanya merupakan anggota himpunan A atau himpunan B.

Notasi : A È B = {x | x Î A Ú x Î B}

Contoh :

S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9}, A = {1, 3, 5, 7} dan B = {0, 3, 7, 9}

b)      Irisan

Irisan (intersection) dari himpunan A dan B adalah himpunan yang setiap anggotanya merupakan anggota dari himpunan A dan anggota himpunan B.

Notasi : A Ç B = {x | x Î A Ù x Î B}

Contoh :

S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9}, A = {1, 3, 5, 7} dan B = {0, 3, 7, 9}

c)Komplemen

Komplemen himpunan A terhadap himpunan semesta S adalah himpunan yang anggotanya merupakan anggota S yang bukan anggota A.

Notasi : Ac = {x | x Î S Ù x Ï A} atau  = {x | x Î S Ù x Ï A}

Contoh :

S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9}, A = {1, 3, 5, 7}

d)     Selisih

Selisih himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya merupakan anggota himpunan A dan bukan anggota himpunan B. Selisih himpunan A dan B adalah komplemen himpunan B terhadap himpunan A.

Notasi : A – B = {x | x Î A Ù x Ï B} atau A – B = A Ç

Contoh :

S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A = {1, 2, 3, 7} dan B = {0, 3, 7, 9}         

e)Beda Setangkup

Beda Setangkup (symetric difference) dari himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya ada pada himpunan A atau B, tetapi tidak pada keduanya.

Notasi : A Å B = (A È B) – (A Ç B) atau : A Å B = (A – B) È (B – A)

Contoh :

S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A = {1, 2, 3, 7} dan B = {0, 3, 7, 9}

F.     Sifat-sifat Operasi pada Himpunan

1)      Hukum Identitas

                  a)      A È f = A

         b)      A Ç S = A

         c)      A Å f = A

2)      Hukum Null

                  a)      A Ç f = f

                  b)      A È S = S

                  c)      A Å A = f

3)      Hukum Komplemen

                  a)      A È Ac = S

                  b)      A Ç Ac = f

4)      Hukum Idempoten

                  a)      A È A = A

                  b)      A Ç A = A

5)      Hukum Involusi

                  (Ac)c = A

6)      Hukum Penyerapan

                  a)      A È (A Ç B) = S

b)            A Ç (A È B) = A

7)      Hukum Komutatif

                  a)      A È B = B È A

                  b)      A Ç B = B Ç A

                  c)      A Å B = B Å A

8)      Hukum Asosiatif

                  a)      A È (B È C) = (A È B) È C

                  b)      A Ç (B Ç C) = (A Ç B) Ç C

                  c)      A Å (B Å C) = (A Å B) Å C

9)      Hukum Distributif

                  a)      A È (B Ç C) = (A È B) Ç (A È C)

                  b)      A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C)

10)  Hukum De Morgan

                  a)      (A Ç B) c = A c È B c

                  b)      (A È B) c = A c Ç B c

G.    Manfaat Belajar Himpunan Dalam Kehidupan Sehari-Sehari

Dengan mempelajari himpunan, diharapkan kemampuan logika akan semakin terasah dan akan memacu kita agar kita mampu berpikir secara logis, karena dalam hidup, logika memiliki peran penting karena logika berkaitan dengan akal pikir. Banyak kegunaan logika antara lain:

1)      Membantu setiap orang yang mempelajari logika untuk berpikir secara rasional, kritis, lurus, tetap, tertib, metodis dan koheren.

2)      Meningkatkan kemampuan berpikir secara abstrak, cermat, dan objektif.

3)      Menambah kecerdasan dan meningkatkan kemampuan berpikir secara tajam dan mandiri.

4)      Memaksa dan mendorong orang untuk berpikir sendiri dengan menggunakan asas-asas sistematis.

5)      Meningkatkan cinta akan kebenaran dan menghindari kesalahan-kesalahan berpikir, kekeliruan serta kesesatan.

6)      Mampu melakukan analisis terhadap suatu kejadian.

H.    Contoh Penerapan Soal Himpunan Dalam Kehidupan Sehari-Hari

Berikut ini merupakan beberapa contoh kasus teori himpuanan dalam kehiupan sehari-hari.

Soal:

1.      Dalam sebuah kelas terdapat 40 orang siswa, 24 orang gemar musik 30 orang gemar olah raga dan 16 orang gemar keduanya. Tentukan banyaknya siswa yang gemar musik saja dan yang gemar olahraga saja?

2.      Dari survey 100 orang warga terdapat 60 orang gemar membaca 50 orang gemar menulis, 45 orang gemar melukis, 40 orang gemar melukis dan menulis, 35 orang gemar membaca dan melukis, 30 orang gemar ketiganya. Tentukan :

a)      Orang yang gemar melukis dan menulis saja

b)      Orang yang gemar membaca dan melukis saja

c)       Orang yang gemar membaca saja

d)     Orang yang gemar menulis saja

e)      Orang yang gemar melukis saja

f)       Orang yang tidak suka ketiganya

Penyelesaian:

1.      Perhatikan dalam soal tersebut terdapat dua himpunan siswa  yaitu siswa yang gemar musik dan siswa yang gemar olahraga. Siswa yang gemar keduanya sebanyak 16 orang. Dalam konsep himpunan, anggota yang gemar keduanya merupan anggota irisan sehingga dapat dicari siswa yang gemar musik saja dan siswa yang gemar olahraga saja. Perhatikan gambar berikut :

Karena irisan siswa yang gemar keduanya sebanyak  16 orang sehingga siswa yang hanya gemar Musik dan olah raga saja yaitu :

Musik = 24 – 16 = 8

Olahraga = 30 – 16 = 14

Dengan demikian  himpunan semestanya :

S = 8 + 14 +16 = 40 siswa.

2.      Dari soal nomor 2, terdapat tiga himpunan yang berbeda yaitu yang gemar membaca, menulis dan melukis. Untuk menyelesaikan soal tersebut, terlebih dahulu kita  cari irisan ketiganya. Sehingga dapat disimpulkan :

Misal : B = Membaca, N = Menulis, L = Melukis

a)      Orang yang gemar melukis dan menulis saja: 40 – 30 = 10 orang

b)      Orang yang gemar membaca dan menulis saja: 35 – 30 = 5 orang

c)      Orang gemar membaca saja: 60 – 30 – 5 = 25 orang

d)     Orang yang gemar menulis saja: 50 – 30 – 10 = 10 orang

e)      Orang yang gemar melukis saja: 45 – 45 = 0, maka orang yang gemar melukis saja merupakan himpunan kosong

f)       Orang yang tidak suka ketiganya: 100 – 25 – 30 – 5 – 10 – 10 = 20 orang