KONSEP DAN NOTASI DASAR PROPOSISI
Proposisi
Di dalam matematika, tidak semua kalimat berhubungan dengan
logika. Hanya kalimat yang bernilai benar atau salah saja yang digunakan dalam
penalaran. Kalimat tersebut dinamakan proposisi (preposition).
Proposisi adalah kalimat deklaratif yang bernilai benar
(true) atau salah (false), tetapi tidak dapat sekaligus keduanya. Kebenaran
atau kesalahan dari sebuah kalimat disebut nilai kebenarannya (truth value).
Contoh berikut ini dapat mengilustrasikan kalimat yang merupakan
proposisi dan mana yang bukan.
Contoh 1.1
a) 6 adalah
bilangan genap
b) Soekarno adalah
Presiden Indonesia yang pertama
c) 2 + 2 = 4
d) Ibukota Provinsi
Jawa Barat adalah Semarang
e) 12 ≥ 19
f) Kemarin hari
hujan
g) Suhu di permukaan
laut adalah 21 derajat celcius
h) Pemuda itu tinggi
i) Kehidupan hanya
ada di Planet Bumi
Semuanya merupakan proposisi. Proposisi a, b, c bernilai
benar, tetapi proposisi d salah karena ibukota Jawa Barat seharusnya Bandung
dan proposisi e bernilai salah karena seharusnya 12 ≤ 19. Proposisi f sampai I
memang tidak dapat langsung ditetapkan kebenarannya, namun satu hal yang pasti,
proposisi-proposisi tersebut tidak mungkin benar dan salah sekaligus. Kita bisa
menetapkan nilai proposisi tersebut benar atau salah. Misalnya, proposisi f
bias kita andaikan benar (hari kemarin memang hujan) atau salah (hari kemarin
tidak hujan). Demikian pula halnya untuk proposisi g dan h. Proposisi i bias
benar atau salah, karena sampai saat ini belum ada ilmuwan yang dapat
memastikan kebenarannya.
Contoh 1.2
a) Jam berapa
kereta api Argo Bromo tiba di Gambir?
b) Serahkan uangmu
sekarang!
c) x + 3 = 8
d) x > 3
bukan proposisi. Kalimat a adalah kalimat Tanya, sedangkan
kalimat b adalah kalimat perintah, keduanya tidak mempunyai nilai kebenaran.
Dari contoh 1.1 dan 1.2 di atas, dapat disimpulkan bahwa proposisi selalu
dinyatakan sebagai kalimat berita, bukan sebagai kalimat Tanya maupun kalimat
perintah. Kalimat c dan d bukan proposisi karena kedua kalimat tersebut tidak
dapat ditentukan benar maupun salah sebab keduanya mengandung peubah (variable)
yang tidak dispesifikasikan nilainya. Tetapi kalimat
“Untuk sembarang bilangan bulat n ≥ 0, maka 2n adalah
bilangan genap”
Bidang logika yang membahas proposisi dinamakan kalkulus
proposisi(propositional calculus) atau logika proposisi (propositional logic).
Secara simbolik, proposisi biasanya dilambangkan dengan
huruf kecil sepertip, q, r, …. misalnya,
p: 6 adalah bilangan genap,
Untuk mendefinisikan p sebagai proposisi “6 adalah bilangan
genap”. Begitu juga untuk
q : soekarno adalah Presiden Indonesia yang pertama.
r : 2 + 2 = 4.
dan sebagainya.
Mengkombinasikan Proposisi
Operator yang digunakan untuk mengkombinasikan proposisi
disebutoperator logika. Operator logika dasar yang digunakan adalah dan (and),atau (or), dan tidak (not).
Dua operator pertama dinamakan operator binerkarena operator tersebut
mengoperasikan dua buah proposisi, sedangkan
operator ketiga dinamakan operator uner karena ia hanya membutuhkan satu
buah proposisi.
Proposisi baru yang diperoleh dari pengkombinasian tersebut
dinamakanproposisi majemuk (compound proposition). proposisi yang bukan
merupakan kombinasi proposisi lain disebut proposisi atomik. Proposisi majemuk
ada tiga macam, yaitu konjungsi, disjungsi, dan ingkaran.
Ketiganyadidefinisikan sebagai berikut:
DEFINISI. Misalkan
dan adalah proposisi. Konjungsi (conjunction) dan , dinyatakan dengan
notasi , adalah proposisi
p dan
Disjungsi (disjunction)
dan , dinyatakan dengan notasi , adalah proposisi
p atau
Ingkaran atau (negation) dari , dinyatakan dengan p, adalah
proposisi tidak p
Catatan:
Beberapa literatur
menggunakan notasi “p”, ””, atau ”not p” untuk menyatakan lingkaran.
Kata “tidak” dapat
dituliskan di tengah pernyataan. Jika kata “tidak” diberikan di awal pernyataan
maka ia biasanya disambungkan dengan kata “benar” menjadi “tidak benar”. Kata
“tidak” dapat juga diganti dengan “bukan” bergantung dengan rasa bahasa yang
tepat untuk pernyataan tersebut.
Berikut contoh-contoh proposisi majemuk dan notasi
simboliknya. Ekspresi proposisi majemuk dalam notasi simbolik disebut juga
ekspresi logika.
Contoh 1.2
Diketahui proposisi-proposisi berikut:
p: Hari ini hujan
q : Murid-murid diliburkan dari sekolah
Maka
pq : Hari ini hujan dan murid-murid diliburkan dari sekolah
pq : Hari ini hujan atau murid-murid diliburkan dari sekolah
p : Tidak benar hari ini hujan (atau dalam kalimat lain yang
lebih lazim: Hari ini tidak hujan)
Tabel Kebenaran
Nilai kebenaran dari proposisi majemuk ditentukan oleh nilai
kebenaran dari proposisi atomiknya dan cara mereka dihubungkan oleh operator
logika.
Misalkan p dan q
adalah proposisi.
Konjungsi p ^ q
bernilai benar jika p dan q keduanya benar, selain itu nilainya salah
Disjungsi p v q bernilai
salah jika p dan q keduanya salah, selain itu nilainya benar
Negasi p, yaitu
~p, bernilai benar jika p salah, dan sebaliknya
Misalkan
p: 17 adalah bilangan prima
q: bilangan prima selalu ganjil
jelas bahwa p bernilai benar dan q bernilai salah sehingga
konjungsi
p ^ q: 17 adalah bilangan prima dan bilangan prima selalu
ganjil adalah salah.
Satu cara yang praktis untuk menentukan nilai kebenaran
proposisi majemuk adalah menggunakan tabel kebenaran. Tabel kebenaran
menampilkan hubungan antara nilai kebenaran dari proposisi atomik. Tabel 1.1
menunjukkan tabel kebenaran untuk konjungsi, disjungsi, dan ingkaran. Pada
tabel tersebut, T=true(benar), dan F=false(salah).
Contoh soal: Jika p, q, radalah proposisi. Bentuklah tabel
kebenaran dari ekspresi logika
(p ^ q) v (~q ^ r)
Penyelesaian:
Ada 3 buah proposisi atomic di dalam ekspresi logika dan
setiap proposisi hanya mempunyai 2 kemungkinan nilai, sehingga jumlah kombinasi
dari semu proposisi tersebut adalah
buah. Tabel kebenaran dari proposisi (p ^ q) v (~q ^ r) ditunjukkan pada
tabel 1.2.
Proposisi majemuk dapat selalu bernilai benar untuk berbagai
kemungkinan nilai kebenaran masing-masing proposisi atomiknya, atau selalu
bernilai salah untuk berbagai kemungkinan nilai kebenaran masing-masing
proposisi atomiknya. Jadi, sebuah proposisi majemuk disebut tautologi jika ia
benar untuk semua kasus, sebaliknya disebut kontradiksi jika ia salah untuk
semua kasus.
Yang dimaksud dengan “semua kasus” di dalam definisi si atas
adalah semua kemungkinan nilai kebenaran dari proposisi atomiknya. Proposisi
tautologi dicirikan pada kolom terakhir pada tabel kebenarannya hanya memuat
True. Proposisi kontradiksi dicirikan pada kolom terakhir pada tabel
kebenarannya hanya memuat False.
Hukum – Hukum Proposisi
Proposisi, dalam kerangka hubungan ekivalen logika, memenuhi
sifat-sifat yang dinyatakan dalam sejumlah hukum pada tabel di bawah.Beberapa
hukum tersebut mirip dengan hukum aljabar pada system bilangan riil, misalnya
a(b + c) = ab + ac, yaitu hukum distributif, sehingga kadang-kadang hukum
logika proposisi dinamakan juga hukum-hukum aljabar proposisi.
1. Hukum identitas
i. p v F ó
p
ii. p ^ T ó
p
2. Hukum null
dominasi
i. p ^ F ó
F
ii. p v T ó
T
3. Hukum negasi
i. p v ~p ó
T
ii. p ^ ~p
ó F
Hukum idempotent
i. p v p ó
p
ii. p ^ p ó
p
5. Hukum involusi
~(~p) ó p
Hukum penyerapan
i. p v (p ^
q) ó p
ii. p ^ (p
v q) ó p
7. Hukum komutatif
i. p v q ó
q v p
ii. p ^ q ó
q ^ p
Hukum assosiatif
i. p v (q v
r) ó (p v q) v r
ii. p ^ (q
^ r) ó (p ^ q) ^ r
9. Hukum
distributif
i. p v (q ^
r) ó (p v q) ^ (p v r)
ii. p ^ (q
v r) ó (p ^ q) v (p ^ r)
10. Hikum de morgan
i. ~(p ^ q)
ó ~p v ~q
ii. ~(p v
q) ó ~p ^ ~q
Hukum-hukum logika di atas bermanfaat untuk membuktikan
ke-ekivalenan dua buah proposisi. Selain menggunakan tabel kebenaran,
ke-ekivalenan dapat dibuktikan dengan hukum-hukum logika, khususnya pada
proposisi majemuk yang mempunyai banyak proposisi atomik. Bila suatu proposisi
majemuk mempunyai n buah proposisi atomic, maka table kebenarannya terdiri
dari baris. Untuk n yang besar jelas
tidak praktis menggunakan tabel kebenaran, misalnya untuk n=10 terdapat baris di dalam tabel kebenarannya.
Implikasi
Adalah suatu pernyataan majemuk p dan q yang digabung dengan
memakai kata hubung logika “jika…maka…”.
Implikasi suatu pernyataan dilambangkan dengan p→q. Dibaca :
Jika p maka q
p berimplikasi q
q hanya jika p
p syarat cukup
untuk q
q syarat perlu
untuk p
Pada implikasi, p
disebut anteseden (hipotesis), q disebut konklusi (kesimpulan).
Nilai kebenaran: untuk p→q bernilai salah hanya berlaku
untuk p pernyataan bernilai benar dan q pernyataan bernilai salah.
B. TAUTOLOGI
Tautologi adalah pernyataan majemuk yang selalu benar untuk
semua kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan komponennya.
Sebuah Tautologi yang memuat pernyataan Implikasi disebut Implikasi Logis.
Untuk membuktikan apakah suatu pernyataan Tautologi, maka ada dua cara yang
digunakan. Cara pertama dengan menggunakan tabel kebenaran, yaitu jika semua
pilihan bernilai B (benar) maka disebut Tautologi, dan cara kedua yaitu dengan
melakukan penjabaran atau penurunan dengan menerapkan sebagian dari 12
hukum-hukum Ekuivalensi Logika.[1]
Contoh:
Lihat pada argumen berikut:
Jika Tono pergi kuliah, maka Tini juga pergi kuliah. Jika
Siska tidur, maka Tini pergi kuliah. Dengan demikian, jika Tono pergi kuliah
atau Siska tidur, maka Tini pergi kulah.
Diubah ke variabel proposional:
A Tono pergi kuliah
B Tini pergi kuliah
C Siska tidur
Diubah lagi menjadi ekspresi logika yang terdiri dari
premis-premis dan kesimpilan. Ekspresi logika 1 dan 2 adalah premis-premis,
sedangkan ekspresi logika 3 adalah kesimpulan.
(1) A → B (Premis)
(2) C → B (premis)
(3) (A V C) → B
(kesimpulan)
Maka sekarang dapat ditulis: ((A → B) ʌ (C → B)) → ((A V C)
→ B
Pembuktian dengan cara kedua yaitu dengan penjabaran atau
penurunan dengan menerapkan sebagian dari 12 hukum-hukum ekuivalensi logika.
Pada tabel diatas nampaklah bahwa kalimat majemuk (p ʌ
q) q merupakan Tautologi.
q (p v q)
penyelesaian:
q (p v q) ~q v (p v q)
~q v (q v p)
T v p
T …………(Tautologi)
KONTRADIKSI
Kontradiksi adalah kebalikan dari tautologi yaitu suatu
bentuk pernyataan yang hanya mempunyai contoh substansi yang salah, atau sebuah
pernyataan majemuk yang salah dalam segala hal tanpa memandang nilai kebenaran
dari komponen-komponennya. Untuk membuktikan apakah suatu pernyataan tersebut
kontradiksi, maka ada dua cara yang digunakan. Cara pertama dengan menggunakan
tabel kebenaran, yaitu jika semua pilihan bernilai F atau salah maka disebut kontradiksi, dan cara
kedua yaitu dengan melakukan penjabaran atau penurunan dengan menerapkan
sebagian dari 12 hukum-hukum Ekuivalensi Logika.
Ekuivalensi
Logika
Dua atau lebih pernyataan majemuk yang mempunyai nilai
kebenaran sama disebut ekuivalensi logika dengan notasi “ dua buah pernyataan
majemuk dikatakan ekuivalen, jika kedua pernyataan majemuk itu mempunyai nilai
kebenaran yang sama untuk semua kemungkinan nilai kebenaran
pernyataan-pernyataan komponen-komponennya.
Hukum-Hukum Ekuivalensi Logika:
Hukum komutatif:
p ʌ q q ʌ p
p v q q v p
Hukum asosiatif:
(p ʌ q) ʌ r p ʌ (q ʌ
r)
(p v q) v r p v (q v
r)
Hukum
distributif:
p ʌ (q v r) (p ʌ q) v
(p ʌ r)
p v (q ʌ r) (p v q) ʌ
(p v r)
Hukum identitas:
p ʌ T p
p v F p
Hukum ikatan
(dominasi):
P v T T
P v F F
Hukum negasi:
P v ~p T
P ʌ ~p F
Hukum negasi
ganda (involusi):
~(~p) p
Hukum idempoten:
P ʌ p p
p v p p
Hukum de morgan:
~( p ʌ q) ~p v ~q
~(p v q) ~p ʌ ~q
Hukum penyerapan
(absorpsi):
p v (P ʌ q) p
P ʌ (p v q) p
Hukum T dan F:
~T F
~F T
Hukum implikasi
ke and/or:
P q ~p v q
Dengan adanya hukum-hukum diatas, penyelesaian soal-soal
baik yang bersifat tautologi, kontradiksi dan ekuivalensi logika tidak hanya
menggunakan tabel kebenaran namun juga bisa dengan menggunakan jalan penurunan
yaitu dengan memanfaatkan 12 (dua belas) hukum-hukum ekuivalensi logika
tersebut.
Dengan menggunakan prinsip-prinsip di atas, maka
kalimat-kalimat yang kompleks dapat disederhanakan.
Sumber :
http://dedekyohana93.blogspot.com/2012/11/tautologi-kontradiksi-dan-ekuivalensi_4667.html
No comments:
Post a Comment