Logika

proposisi

Tautologi Adalah suatu ekspresi logika yang selalu bernilai benar di dalam tabel kebenarannya, tanpa memperdulikan nilai kebenaran dari proposisi-proposisi yang berada didalamnya.

Kontradiksi Adalah Suatu ekspresi logika yang selalu bernilai salah di dalam tabel kebenarannya, tanpa memperdulikan nilai kebenarannya dari proposisi-proposisi yang berada di dalamnya.

Tabel Kebenaran

ALJABAR LOGIKA

- Pernyataan/Proposisi

Pernyataan adalah suatu kalimat yang mempunyai nilai kebenaran (benar atau salah) tetapi tidak keduanya.

Contoh:

p = Tadi malam BBM mulai naik (memiliki nilai kebenaran benar/true).

q = 23 = 32 (memiliki nilai kebenaran salah/false).

- Negasi/lingkaran

Negasi suatu kalimat akan mempunyai nilai kebenaran yang berlawanan dengan nilai kebenaran kalimat aslinya. Jadi jika nilai p bernilai benar maka bernilai salah. Sebaliknya jika p bernilai salah, maka akan bernilai benar.

- Membuat kesimpulan

NEGASI LINGKARAN

Dalam logika matematika, negasi atau ingkaran adalah operasi matematika terhadap suatu pernyataan, baik tunggal maupun majemuk. Operasi negasi membalikkan nilai kebenaran suatu pernyataan. Jika p bernilai benar maka ~p bernilai salah. Sebaliknya, jika p bernilai salah, maka ~p bernilai benar. Bentuk ~p biasa dibaca “bukan p”, “tidak p”, “tidak benar bahwa p”, dsb.

 http://vynhe.blogspot.com/2013/07/tautologi-kontradiksi-aljabar-logika.html

http://nadyanavyanti.blogspot.com/2013/06/tautologi-dan-kontradiksi-aljabar.html

http://christoperjohan.blogspot.com/2012/09/logika-logic.html

Proposisi

KONSEP DAN NOTASI DASAR PROPOSISI

Proposisi

Di dalam matematika, tidak semua kalimat berhubungan dengan logika. Hanya kalimat yang bernilai benar atau salah saja yang digunakan dalam penalaran. Kalimat tersebut dinamakan proposisi (preposition).

Proposisi adalah kalimat deklaratif yang bernilai benar (true) atau salah (false), tetapi tidak dapat sekaligus keduanya. Kebenaran atau kesalahan dari sebuah kalimat disebut nilai kebenarannya (truth value).

Contoh berikut ini dapat mengilustrasikan kalimat yang merupakan proposisi dan mana yang bukan.

Contoh 1.1

a)    6 adalah bilangan genap

b)    Soekarno adalah Presiden Indonesia yang pertama

c)    2 + 2 = 4

d)    Ibukota Provinsi Jawa Barat adalah Semarang

e)    12 ≥ 19

f)     Kemarin hari hujan

g)    Suhu di permukaan laut adalah 21 derajat celcius

h)   Pemuda itu tinggi

i)     Kehidupan hanya ada di Planet Bumi

Semuanya merupakan proposisi. Proposisi a, b, c bernilai benar, tetapi proposisi d salah karena ibukota Jawa Barat seharusnya Bandung dan proposisi e bernilai salah karena seharusnya 12 ≤ 19. Proposisi f sampai I memang tidak dapat langsung ditetapkan kebenarannya, namun satu hal yang pasti, proposisi-proposisi tersebut tidak mungkin benar dan salah sekaligus. Kita bisa menetapkan nilai proposisi tersebut benar atau salah. Misalnya, proposisi f bias kita andaikan benar (hari kemarin memang hujan) atau salah (hari kemarin tidak hujan). Demikian pula halnya untuk proposisi g dan h. Proposisi i bias benar atau salah, karena sampai saat ini belum ada ilmuwan yang dapat memastikan kebenarannya.

Contoh 1.2

a)    Jam berapa kereta api Argo Bromo tiba di Gambir?

b)    Serahkan uangmu sekarang!

c)    x + 3 = 8

d)    x > 3

bukan proposisi. Kalimat a adalah kalimat Tanya, sedangkan kalimat b adalah kalimat perintah, keduanya tidak mempunyai nilai kebenaran. Dari contoh 1.1 dan 1.2 di atas, dapat disimpulkan bahwa proposisi selalu dinyatakan sebagai kalimat berita, bukan sebagai kalimat Tanya maupun kalimat perintah. Kalimat c dan d bukan proposisi karena kedua kalimat tersebut tidak dapat ditentukan benar maupun salah sebab keduanya mengandung peubah (variable) yang tidak dispesifikasikan nilainya. Tetapi kalimat

“Untuk sembarang bilangan bulat n ≥ 0, maka 2n adalah bilangan genap”

Bidang logika yang membahas proposisi dinamakan kalkulus proposisi(propositional calculus) atau logika proposisi (propositional logic).

Secara simbolik, proposisi biasanya dilambangkan dengan huruf kecil sepertip, q, r, …. misalnya,

p: 6 adalah bilangan genap,

Untuk mendefinisikan p sebagai proposisi “6 adalah bilangan genap”. Begitu juga untuk

q : soekarno adalah Presiden Indonesia yang pertama.

r : 2 + 2 = 4.

dan sebagainya.

Mengkombinasikan Proposisi

Operator yang digunakan untuk mengkombinasikan proposisi disebutoperator logika. Operator logika dasar yang digunakan  adalah dan (and),atau (or), dan tidak (not). Dua operator pertama dinamakan operator binerkarena operator tersebut mengoperasikan dua buah proposisi, sedangkan  operator ketiga dinamakan operator uner karena ia hanya membutuhkan satu buah proposisi.

Proposisi baru yang diperoleh dari pengkombinasian tersebut dinamakanproposisi majemuk (compound proposition). proposisi yang bukan merupakan kombinasi proposisi lain disebut proposisi atomik. Proposisi majemuk ada tiga macam, yaitu konjungsi, disjungsi, dan ingkaran. Ketiganyadidefinisikan sebagai berikut:

DEFINISI. Misalkan  dan adalah proposisi. Konjungsi (conjunction) dan , dinyatakan dengan notasi , adalah proposisi

p dan

Disjungsi (disjunction)  dan , dinyatakan dengan notasi , adalah proposisi

p atau

Ingkaran atau (negation) dari , dinyatakan dengan p, adalah proposisi tidak p

Catatan:

    Beberapa literatur menggunakan notasi “p”, ””, atau ”not p” untuk menyatakan lingkaran.

    Kata “tidak” dapat dituliskan di tengah pernyataan. Jika kata “tidak” diberikan di awal pernyataan maka ia biasanya disambungkan dengan kata “benar” menjadi “tidak benar”. Kata “tidak” dapat juga diganti dengan “bukan” bergantung dengan rasa bahasa yang tepat untuk pernyataan tersebut.

Berikut contoh-contoh proposisi majemuk dan notasi simboliknya. Ekspresi proposisi majemuk dalam notasi simbolik disebut juga ekspresi logika.

Contoh 1.2

Diketahui proposisi-proposisi berikut:

p: Hari ini hujan

q : Murid-murid diliburkan dari sekolah

Maka

pq : Hari ini hujan dan murid-murid diliburkan dari sekolah

pq : Hari ini hujan atau murid-murid diliburkan dari sekolah

p : Tidak benar hari ini hujan (atau dalam kalimat lain yang lebih lazim: Hari ini tidak hujan)

Tabel Kebenaran

Nilai kebenaran dari proposisi majemuk ditentukan oleh nilai kebenaran dari proposisi atomiknya dan cara mereka dihubungkan oleh operator logika.

    Misalkan p dan q adalah proposisi.

    Konjungsi p ^ q bernilai benar jika p dan q keduanya benar, selain itu nilainya salah

    Disjungsi p v q bernilai salah jika p dan q keduanya salah, selain itu nilainya benar

    Negasi p, yaitu ~p, bernilai benar jika p salah, dan sebaliknya

Misalkan

p: 17 adalah bilangan prima

q: bilangan prima selalu ganjil

jelas bahwa p bernilai benar dan q bernilai salah sehingga konjungsi

p ^ q: 17 adalah bilangan prima dan bilangan prima selalu ganjil adalah salah.

Satu cara yang praktis untuk menentukan nilai kebenaran proposisi majemuk adalah menggunakan tabel kebenaran. Tabel kebenaran menampilkan hubungan antara nilai kebenaran dari proposisi atomik. Tabel 1.1 menunjukkan tabel kebenaran untuk konjungsi, disjungsi, dan ingkaran. Pada tabel tersebut, T=true(benar), dan F=false(salah).

Contoh soal: Jika p, q, radalah proposisi. Bentuklah tabel kebenaran dari ekspresi logika

(p ^ q) v (~q ^ r)

Penyelesaian:

Ada 3 buah proposisi atomic di dalam ekspresi logika dan setiap proposisi hanya mempunyai 2 kemungkinan nilai, sehingga jumlah kombinasi dari semu proposisi tersebut adalah  buah. Tabel kebenaran dari proposisi (p ^ q) v (~q ^ r) ditunjukkan pada tabel 1.2.

Proposisi majemuk dapat selalu bernilai benar untuk berbagai kemungkinan nilai kebenaran masing-masing proposisi atomiknya, atau selalu bernilai salah untuk berbagai kemungkinan nilai kebenaran masing-masing proposisi atomiknya. Jadi, sebuah proposisi majemuk disebut tautologi jika ia benar untuk semua kasus, sebaliknya disebut kontradiksi jika ia salah untuk semua kasus.

Yang dimaksud dengan “semua kasus” di dalam definisi si atas adalah semua kemungkinan nilai kebenaran dari proposisi atomiknya. Proposisi tautologi dicirikan pada kolom terakhir pada tabel kebenarannya hanya memuat True. Proposisi kontradiksi dicirikan pada kolom terakhir pada tabel kebenarannya hanya memuat False.

Hukum – Hukum Proposisi

Proposisi, dalam kerangka hubungan ekivalen logika, memenuhi sifat-sifat yang dinyatakan dalam sejumlah hukum pada tabel di bawah.Beberapa hukum tersebut mirip dengan hukum aljabar pada system bilangan riil, misalnya a(b + c) = ab + ac, yaitu hukum distributif, sehingga kadang-kadang hukum logika proposisi dinamakan juga hukum-hukum aljabar proposisi.

    1. Hukum identitas

i.            p v F ó p

ii.            p ^ T ó p

    2. Hukum null dominasi

i.            p ^ F ó F

ii.            p v T ó T

    3. Hukum negasi

i.            p v ~p ó T

ii.            p ^ ~p ó F

    Hukum idempotent

i.            p v p ó p

ii.            p ^ p ó p

    5. Hukum involusi

~(~p) ó p

    Hukum penyerapan

i.            p v (p ^ q) ó p

ii.            p ^ (p v q) ó p

    7. Hukum komutatif

i.            p v q ó q v p

ii.            p ^ q ó q ^ p

    Hukum assosiatif

i.            p v (q v r) ó (p v q) v r

ii.            p ^ (q ^ r) ó (p ^ q) ^ r

    9. Hukum distributif

i.            p v (q ^ r) ó (p v q) ^ (p v r)

ii.            p ^ (q v r) ó (p ^ q) v (p ^ r)

10.  Hikum de morgan

i.            ~(p ^ q) ó ~p v ~q

ii.            ~(p v q) ó ~p ^ ~q

Hukum-hukum logika di atas bermanfaat untuk membuktikan ke-ekivalenan dua buah proposisi. Selain menggunakan tabel kebenaran, ke-ekivalenan dapat dibuktikan dengan hukum-hukum logika, khususnya pada proposisi majemuk yang mempunyai banyak proposisi atomik. Bila suatu proposisi majemuk mempunyai n buah proposisi atomic, maka table kebenarannya terdiri dari  baris. Untuk n yang besar jelas tidak praktis menggunakan tabel kebenaran, misalnya untuk n=10 terdapat  baris di dalam tabel kebenarannya.

Implikasi

Adalah suatu pernyataan majemuk p dan q yang digabung dengan memakai kata hubung logika “jika…maka…”.

Implikasi suatu pernyataan dilambangkan dengan p→q. Dibaca :

     Jika p maka q

     p berimplikasi q

     q hanya jika p

     p syarat cukup untuk q

     q syarat perlu untuk p

Pada  implikasi, p disebut anteseden (hipotesis), q disebut konklusi (kesimpulan).

Nilai kebenaran: untuk p→q bernilai salah hanya berlaku untuk p pernyataan bernilai benar dan q pernyataan bernilai salah.

B. TAUTOLOGI

Tautologi adalah pernyataan majemuk yang selalu benar untuk semua kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan komponennya. Sebuah Tautologi yang memuat pernyataan Implikasi disebut Implikasi Logis. Untuk membuktikan apakah suatu pernyataan Tautologi, maka ada dua cara yang digunakan. Cara pertama dengan menggunakan tabel kebenaran, yaitu jika semua pilihan bernilai B (benar) maka disebut Tautologi, dan cara kedua yaitu dengan melakukan penjabaran atau penurunan dengan menerapkan sebagian dari 12 hukum-hukum Ekuivalensi Logika.[1]

Contoh:

Lihat pada argumen berikut:

Jika Tono pergi kuliah, maka Tini juga pergi kuliah. Jika Siska tidur, maka Tini pergi kuliah. Dengan demikian, jika Tono pergi kuliah atau Siska tidur, maka Tini pergi kulah.

Diubah ke variabel proposional:

A  Tono pergi kuliah

B  Tini pergi kuliah

C  Siska tidur

Diubah lagi menjadi ekspresi logika yang terdiri dari premis-premis dan kesimpilan. Ekspresi logika 1 dan 2 adalah premis-premis, sedangkan ekspresi logika 3 adalah kesimpulan.

(1)   A → B                                    (Premis)

(2)   C → B                         (premis)

(3) (A V C) → B              (kesimpulan)

Maka sekarang dapat ditulis: ((A → B) ʌ (C → B)) → ((A V C) → B       

Pembuktian dengan cara kedua yaitu dengan penjabaran atau penurunan dengan menerapkan sebagian dari 12 hukum-hukum ekuivalensi logika.

Pada tabel diatas nampaklah bahwa kalimat majemuk (p ʌ q)  q merupakan Tautologi.

     q  (p v q)

penyelesaian:

q  (p v q)     ~q v (p v q)

 ~q v (q v p)

 T v p

  T …………(Tautologi)

       KONTRADIKSI

Kontradiksi adalah kebalikan dari tautologi yaitu suatu bentuk pernyataan yang hanya mempunyai contoh substansi yang salah, atau sebuah pernyataan majemuk yang salah dalam segala hal tanpa memandang nilai kebenaran dari komponen-komponennya. Untuk membuktikan apakah suatu pernyataan tersebut kontradiksi, maka ada dua cara yang digunakan. Cara pertama dengan menggunakan tabel kebenaran, yaitu jika semua pilihan bernilai F  atau salah maka disebut kontradiksi, dan cara kedua yaitu dengan melakukan penjabaran atau penurunan dengan menerapkan sebagian dari 12 hukum-hukum Ekuivalensi Logika.

       Ekuivalensi Logika

Dua atau lebih pernyataan majemuk yang mempunyai nilai kebenaran sama disebut ekuivalensi logika dengan notasi “ dua buah pernyataan majemuk dikatakan ekuivalen, jika kedua pernyataan majemuk itu mempunyai nilai kebenaran yang sama untuk semua kemungkinan nilai kebenaran pernyataan-pernyataan komponen-komponennya.

Hukum-Hukum Ekuivalensi Logika:

     Hukum komutatif:

p ʌ q  q ʌ p

p v q q v p

     Hukum asosiatif:

(p ʌ q) ʌ r  p ʌ (q ʌ r)

(p v q) v r  p v (q v r)

     Hukum distributif:

p ʌ (q v r)  (p ʌ q) v (p ʌ r)

p v (q ʌ r)  (p v q) ʌ (p v r)

     Hukum identitas:

p ʌ T  p

p v F  p

     Hukum ikatan (dominasi):

P v T  T

P v F  F

     Hukum negasi:

P v ~p  T

P ʌ ~p  F

     Hukum negasi ganda (involusi):

~(~p)  p

     Hukum idempoten:

P ʌ p  p

p v p  p

     Hukum de morgan:

~( p ʌ q)  ~p v ~q

~(p v q)  ~p ʌ ~q

      Hukum penyerapan (absorpsi):

p v (P ʌ q)  p

P ʌ (p v q)  p

     Hukum T dan F:

~T  F

~F  T

     Hukum implikasi ke and/or:

P  q  ~p v q

Dengan adanya hukum-hukum diatas, penyelesaian soal-soal baik yang bersifat tautologi, kontradiksi dan ekuivalensi logika tidak hanya menggunakan tabel kebenaran namun juga bisa dengan menggunakan jalan penurunan yaitu dengan memanfaatkan 12 (dua belas) hukum-hukum ekuivalensi logika tersebut.

Dengan menggunakan prinsip-prinsip di atas, maka kalimat-kalimat yang kompleks dapat disederhanakan.

 Sumber :

http://dedekyohana93.blogspot.com/2012/11/tautologi-kontradiksi-dan-ekuivalensi_4667.html

Definisi Fungsi

DEFINISI FUNGSI

Sebuah fungsi f adalah suatu aturan korespondensi yang menghubungkan setiap objek x dalam satu himpunan, yang disebut daerah asal, dengan sebuah nilai tunggal f(x) dari suatu himpunan kedua. Himpunan nilai yang diperoleh secara demikian disebut daerah hasil fungsi.

Macam-macam Fungsi :

 Fungsi Aljabar : semua fungsi yang menggunakan operasi perhitungan secara aljabar disebut fungsi aljabar, misalnya fungsi kuadrat, fungsi pecahan, fungsi linier dan sebagainya.

Fungsi Eksponen : fungsi eksponen adalah fungsi perpangkatan dengan variabel bebas sebagai pangkatnya. misalnya f(x) = 2x

Fungsi Eksplisit : fungsi eksplisit adalah fungsi yang dapat dibedakan dengan jelas antara variabel bebas dan variabel tidak bebas. contohnya y = 2x – 5 , dalam fungsi ini x sebagai variabel bebas dan y sebagai variabel tidak terbatas, nilai y ditentukan oleh besarnya nilai x, sehingga dapat terlihat dengan jelas perbedaan kedua variabel tersebut.

Fungsi Implisit : fungsi implisit merupakan lawan dari fungsi eksplisit jadi pada fungsi implisist perbedaan antara variaabel bebas dan variabel tidak bebas tidak dapat dibedakan dengan jelas. contohnya f(x,y) = 3x + 4y.

Fungsi Ganjil : suatu fungsi dikatakan ganjil jika dan hanya jika f(-x) = – f(x).

Fungsi Genap : suatu fungsi dikatakan genap jika dan hanya jika f(-x) = f(x). fungsi genap merupakan lawan dari fungsi ganjil.

Fungsi Goniometri : fungsi goniometri juga disebut fungsi trigonometri yaitu fungsi yang memetakan besar sudut dengan bilangan aljabar atau sebaliknya. contohnya y = sin x.

Fungsi Identitas : fungsi identitas dilambangkan dengan notasi “I”, yaitu fungsi yang memetakan setiap anggota domain dengan dirinya sendiri.

Fungsi Into : fungsi into juga disebut fungsi kedalam atau fungsi injektif atau fungsi satu-satu yaitu fungsi yang  memetakan setiap anggota domain dengan tepat sati kawan yang berbeda pada kodomain.

Fungsi Onto : fungsi onto juga disebut fungsi surjektif atau fungsi kepada yaitu suatu fungsi yang setiap anggota daerah hasil merupakan peta dari daerah asal.

Fungsi Bijektif : fungsi bijektif disebut juga fungsi satu-satu kepada yaitu gabungan dari fungsi satu-satu dan fungsi kepada yaitu fungsi yang memetakan setiap anggota domain dengan tepat satu kawan pada kodomain dan setiap anggota kodomain adalah peta dari domain.

Domain disebut juga dengan daerah asal, kodomain daerah kawan sedangkan range adalah daerah hasil.

contoh : Diketahui himpunan P = { 1,2,3,4 } dan himpunan Q = { 2,4,6,8,10,12 }

Relasi dari himpunan P ke himpunan Q dinyatakan dengan ” setengah dari “.

Jika relasi tersebut dinyatakan dengan himpunan pasangan berurutan menjadi :

{ (1,2),(2,4),(3,6),(4,8) }.

Relasi di atas merupakan suatu fungsi karena setiap anggota himpunan P mempunyai tepat satu kawan anggota himpunan Q.

Dari fungsi di atas maka :

Domain/daerah asal = himpunan P = { 1,2,3,4 }

Kodomain/daerah kawan = himpunan Q = { 2,4,6,8,10,12 }

Range/daerah hasil = { 2,4,6,8 }

Note:

Domain, Kodomain, dan Range

    Domain adalah daerah kawan

    b. Kodomain adalah daerah kawan

    c. Range adalah daerah hasil dari himpunan bagian  dari kodomain.

Sumber : http://irmasusandar.blogspot.com/2013/07/fungsi-domain-kodomain-dan-range.html

Relasi

PENGERTIAN RELASI

Definisi Relasi adalah himpunan bagian antara  A(domain) dan B (kodomain) atau relasi yang memasangkan setiap elemen yang ada pada himpunan  A secara tunggal, dengan elemen yang  pada B.

Macam penyajian relasi :

Penyajian Relasi dengan Diagram Panah

 Misalkan A = {3,4,5} dan B = {2,4}.

Jika kita definisikan relasi R dari A ke B dengan aturan :   (a, b) ∈ R jika a faktor prima dari bmaka relasi tersebut dapat digambarkan dengan diagram panah berikut ini :

Penyajian relasi dengan diagram cartesius

Diagram Kartesius menggunakan pasangan koordinat horisontal-vertikal. Setiap titik mewakili ada tidaknya hubungan A dan B.

 Penyajian Relasi berupa Pasangan Terurut

relasi pada diagram panah dapat dinyatakan dalam bentuk pasangan terurut, yaitu :

             R = {(3, 2), (4, 2), (5, 2), (5, 4)}

Penyajian Relasi dengan Tabel

Kolom pertama tabel menyatakan daerah asal, sedangkan kolom kedua menyatakan daerah hasil.

Penyajian Relasi dengan Matriks

Relasi antara A = {a1, a2, …, am} dan B = {b1, b2, …, bn}

Jenis-jenis Relasi

Relasi Invers : Misalkan R merupakan  relasi dari himpunan A ke himpunan B. Invers dari R yang dinyatakan dengan  adalah relasi dari B ke A yang mengandung semua pasangan terurut yang bila dipertukarkan masih termasuk dalam R. Ditulis dalam notasi himpunan sbb ;

R-1= {(b,a) : (a,b)R}

contoh:

A = {1,2,3}           B = {x,y}

R = {(1,x), (1,y), (3,x)} relasi dari A ke B

R-1= {(x,1), (y,1), (x,3)} relasi invers dari B ke A

Relasi Refleksif : Misalkan R = (A, A, P(x,y)) suatu relasi.

R disebut relasi refleksif, jika setiap A berlaku (a,a)R.

Dengan kata lain, R disebut relasi refleksif jika setiap anggota dalam A berelasi dengan dirinya sendiri

Contoh Relasi Refleksif

Diketahui A = {1, 2, 3, 4} dan

R = {(1,1), (2,3), (3,3), (4,2), (4,4)}

Apakah R relasi refleksif ?

R bukan relasi refleksif, sebab (2,2) tidak termasuk dalam R.

Jika (2,2) termasuk dalam R, yaitu R1= {(1,1), (2,2), (2,3), (3,3), (4,2), (4,4)} maka R1merupakan relasi refleksif.

Relasi Simetrik : Misalkan R = (A, B, P(x,y)) suatu relasi.

R disebut relasi simetrik, jika setiap (a,b)R berlaku (b,a)R.

Dengan kata lain, R disebut relasi simetrik jika a R b berakibat b R a.

Contoh Relasi Simetrik

perhatikan satu per satu. Setiap kali kamu menemukan pasangan, misalnya (a, b), maka cari apakah (b, a) juga ada. Kalau ternyata tidak ada, pasti relasi itu tidak simetrik.

Apakah relasi dalam {1, 2, 3, 4} berikut simetrik?

 pembahasan

{(1, 2), (2, 3), (4, 2), (3, 2), (2,4), (1, 1), (3, 3), (2, 1)}

Relasi tersebut simetrik. Mari kita periksa satu per satu.

 kita menemukan (1, 2). Berarti (2, 1) juga harus ada. Ternyata benar.

{(1, 2), (2, 3), (4, 2), (3, 2), (2, 4), (1, 1), (3, 3), (2,1)}

 Relasi anti Simetrik : Suatu relasi R disebut relasi anti simetrik jika (a,b)R dan (b,a)R maka a=b.

Dengan kata lain Jika a, b A, a≠b, maka (a,b)R atau (b,a)R, tetapi tidak kedua-duanya.

Contoh : Misalkan R suatu relasi dalam himpunan bilangan asli yang didefinisikan “y habis dibagi oleh x”, maka R termasuk relasi anti simetrik karena jika b habis dibagi a dan a habis dibagi b, maka a = b.

Misalkan A = {1, 2, 3} dan R1= {(1,1), (2,1), (2,2), (2,3), (3,2)}, maka R1bukan relasi anti simetrik, sebab (2,3)R1dan (3,2)R1pula.l

Relasi Transitif : Misalkan R suatu relasi dalam himpunan A. R disebut relasi transitif jika berlaku ; Jika (a,b)R dan (b,c)R maka (a,c)R.

Dengan kata lain

Jika a berelasi dengan b dan b berelasi dengan c, maka a berelasi dengan c.

Contoh : Misalkan A = {a, b, c} dan R = {(a,b), (a,c), (b,a), (c,b)}, maka R bukan relasi transitif, sebab (b,a)R dan (a,c)R tetapi (b,c)R.

Coba dilengkapi agar R menjadi relasi transitif

R = {(a,a), (a,b), (a,c), (b,a), (b,b), (b,c), (c,a), (c,b), (c,c)}l

Relasi Equivalen : Suatu relasi R dalam himpunan A disebut relasi equivalen jika memenuhi ;

1.Sifat Refleksif

2.Sifat Simetrik

3.Sifat Transitif

Sekian penjelasannya, untuk  lebih paham, ada 1 soal nih.

    Jika A = {1, 2, 3, 4}, berikut diberikan relasi atas A:

R1 = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 4), (4, 1), (4, 4)}

R2 = {(1, 1), (1, 2), (2, 1)}

R3 = {(1, 1), (1, 2), (1, 4), (2, 1), (2,2), (3, 3), (4, 1), (4,4)}

R4 = {(2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3)}

R5 = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3) (2, 4), (3, 3), (3,4), (4, 4)}

R6 = {(3, 4)}

R7 = {(1, 1)}

R8 = {(1, 1), (1, 2), (3, 4), (4, 3)}

Manakah dari kedelapan relasi di atas yang masing-masing bersifat:

refleksif, simetri, anti simetri, transitif, dan yang bukan simetri sekaligus bukan antisimetri.

Pada relasi-relasi di atas yang bersifat refleksif adalah: R3, dan R5.

R1 tidak refleksif karena (3, 3)∉R1.

Relasi yang bersifat simetri: R2, R3, dan R7.

Relasi yang bersifat antisimetri: R4, R5, R6, dan R7.

Relasi yang bersifat transitif: R5, R6, dan R7.

Untuk melihat R3 tidak bersifat transitif, dapat menggunakan tabel

berikut:

(a,b)   (b,c)   (a,c)         Keterangan

(1,1)   (1,2)   (1,2)        Anggota R3

(1,2)   (2,2)   (1,2)        Anggota R3

(1,4)   (4,1)   (1,1)        Anggota R3

(2,1)   (1,4)   (2,4)        Bukan anggota R3

(2,2)   (2,1)   (2,1)        Anggota R3

Untuk melihat R5 bersifat transitif, lihat tabel berikut:

R5 = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2,2), (2,3), (2,4), (3, 3), (3, 4), (4, 4)}

(a,b)   (b,c)   (a,c)         Keterangan

(1,1)   (1,2)   (1,2)        Anggota R5

(1,2)   (2,2)   (1,2)        Anggota R5

(1,3)   (3,3)   (1,3)        Anggota R5

(1,4)   (4,1)   (1,1)        Anggota R5

(2,2)   (2,4)   (2,4)        Bukan anggota R3

(2,3)   (2,1)   (2,1)        Anggota R3

(2,4)  

(3,3)  

(3,4)  

(4,4)  

Relasi yang bukan simetri dan bukan pula antisimetri: R1, dan R8.

 partisi adalah memecah/ membagi suatu himpunan  menjadi beberapa himpunan bagian tak-kosong  yang mana setiap elemen  tepat termuat di satu himpunan bagian. Himpunan bagian ini disibut sel dari partisi.

  SUMBER :

http://budysantoso40.blogspot.com/2012/09/relasi.html

http://ariaturns.wordpress.com/2010/05/30/relasi-ekuivalen-kelas-ekuivalensi-dan-partisi/

Himpunan

A.    Pengertian Himpunan

Konsep himpunan mendasari hampir semua cabang matematika. Gerorg Cantor  dianggap sebagai  Bapak teori himpunan. Himpunan merupakan kumpulan benda-benda atau objek-objek yang didefinisikan dengan jelas. Istilah didefinisikan dengan jelas dimaksukkan agar orang dapat menentukan apakah suatu benda merupakan anggota himpunan yang dimaksud tadi atau tidak.

Anggota atau elemen adalah benda-benda atau objek-objek yang termasuk dalam sebuah himpunan.

Contoh:

Himpunan yang merupakan himpunan:

-          Himpunan anak yang berusia 12 tahun

-          Himpunan bilangan asli genap

-          Himpunan pulau-pulau di Indonesia

Himpunan yang bukan merupakan himpunan:

-          Himpunan anak-anak malas

-          Himpunan wanita-wanita cantik

-          Himpunan lukisan indah

B.     Cara Penulisan Himpunan

Ada empat cara untuk menyatakan suatu himpunan

1)      dengan menyebutkan semua anggotanya (roster) yang diletakkan di dalam sepasang tanda kurung kurawal, dan di antara setiap anggotanya dipisahkan dengan tanda koma. Cara ini disebut juga cara Tabulasi.

Contoh:     A = {a, i, u, e, o}

B = {Senin, Selasa, Rabu, Kamis, Jumat, Sabtu, Minggu}

2)      menyebutkan syarat anggota-anggotanya, cara ini disebut juga cara Deskripsi.

Contoh: ambil bilangan asli kurang dari 5

A = bilangan asli kurang dari 5

3)      Notasi Pembentuk Himpunan : dengan menuliskan ciri-ciri umum atau sifat-sifat umum (role) dari anggotanya.

Contoh Soal :

Nyatakan dengan notasi himpunan dengan menuliskan tiap-tiap anggotanya dan sifat-sifatnya himpunan berikut ini :

1.            A adalah himpunan bilangan asli antara 1 dan 6

2.            B adalah himpunan mata kuliah yang anggotanya adalah : kalkulus, logika matematika, matematika diskrit, statistika, fisika

3.            C adalah himpunan bilangan riil yang lebih besar dari 5

4.            D adalah himpunan yang terdiri dari bilangan 2, 4, 6, 8, 10

5.            E adalah himpunan bilangan riil lebih kecil dari 5 dan lebih besar dari 10

Penyelesaian :

1.            A adalah himpunan bilangan asli antara 1 dan 6

      ·       Dengan menulis tiap-tiap anggotanya

               A = {2, 3, 4, 5}

                  ·       Dengan menulis sifat-sifatnya

            A = {x | 1 < x < 6, x Î Asli}

2.            B adalah himpunan mata kuliah yang anggotanya adalah : kalkulus, logika matematika, matematika diskrit, statistika, fisika

         ·       Dengan menulis tiap-tiap anggotanya

B = {kalkulus, logika matematika, matematika diskrit, statistika, fisika}.

         ·       Dengan menulis sifat-sifatnya

B tidak bisa dituliskan sifat-sifatnya, karena tidak ada sifat yang sama di antara anggota-anggotanya

3.            C adalah himpunan bilangan riil yang lebih besar dari 5

·         Dengan menulis tiap-tiap anggotanya C tidak bisa dituliskan anggota-anggotanya, karena jumlah anggota C tak terhingga.

·         Dengan menulis sifat-sifatnya

C = {x | x > 5, x Î Riil}     

4.            D adalah himpunan yang terdiri dari bilangan 2, 4, 6, 8, 10

·         Dengan menulis tiap-tiap anggotanya

D = {2, 4, 6, 8, 10}

·         Dengan menulis sifat-sifatnya

D = {x | x adalah 5 buah bilangan asli pertama yang genap}

5.            E adalah himpunan bilangan riil lebih kecil dari 5 dan lebih besar dari 10

·         Dengan menulis tiap-tiap anggotanya

      E = tidak bisa dituliskan anggota-anggotanya, karena jumlah anggota E tak terhingga.

·         Dengan menulis sifat-sifatnya

E = {x | x < 5 dan x > 10, x Î Riil}

4)      Himpunan juga dapat di sajikan secara grafis (Diagram Venn).

Penyajian himpunan dengan diagram Venn ditemukan oleh seorang ahli matematika Inggris bernama John Venn tahun 1881. Himpunan semesta digambarkan dengan segiempat dan himpunan lainnya dengan lingkaran di dalam segiempat tersebut.

Contoh :

Gambarkan dengan diagram Venn himpunan-himpunan  berikut ini :

1.      S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A = {1, 3, 5, 7} dan B = {0, 3, 7, 9}

2.      S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A = {0, 1, 3, 7} dan B = {2, 4, 6}

3.      S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A = {0, 1, 2, 3, 5, 6, 7} dan B = {0, 1, 3, 7}

         Penyelesaian :

1.            S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A = {1, 3, 5, 7} dan B = {0, 3, 7, 9}

2.            S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A = {0, 1, 3, 7} dan B = {2, 4, 6}

3.            S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A = {0, 1, 2, 3, 5, 6, 7} dan B = {0, 1, 3, 7}

C.    Keanggotaan Himpunan (Menurut Buku Ensiklopedia Matematika)

Himpunan selalu dinyatakan dengan huruf besar,seperti A,B,C,dan seterusnya. Untuk menyatakan anggota suatu himpunan digunakan lambang “Δ (baca: anggota) sedangkan untuk menyatakan bukan anggota suatu himpunan digunakan lambing” Ï” (baca: bukan anggota).

A = {a, b, c} menyatakan bahwa himpunan A anggota-anggotanya adalah a, b, dan c.

Ditulis: a Î A; b Î A; dan c Î A

Bukan keanggotaan suatu himpunan A.

Jika A = {a, b, c} maka d bukan anggota himpunan A.

Ditulis: d Ï A. Banyaknya anggota himpunan

·         Banyaknya unsur dari suatu himpunan disebut bilangan cardinal dari himpunan tersebut │A│dibaca “banyaknya anggota himpunan A, kardinal (A).

Contoh Soal:

Tentukan kardinalitas dari himpunan berikut :

1.            A = {2, 4, 6, 8, 10}

2.            B = {x | 1 < x < 6, x Î Asli}

3.            C = {x | x > 5, x Î Riil}

4.            D = {x | x bilangan cacah yang lebih kecil dari 10}

5.            E = {x | x bilangan prima yang lebih kecil dari 15}

         Penyelesaian :

1.            A = {2, 4, 6, 8, 10}

                  n (A) = 5

2.            B = {x | 1 < x < 6, x Î Asli}

                  B = {2, 3, 4, 5}

                  n(B) = 4

3.            C = {x | x > 5, x Î Riil}

                  n(C) = ~

4.            D = {x | x bilangan cacah yang lebih kecil dari 10}

                  D = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ,9}

                  n(D) = 10

5.            E = {x | x bilangan prima yang lebih kecil dari 15}

                  E = {2, 3, 5, 7, 11, 13}

            n(E) = 6

D.    Macam-Macam Himpunan (Menurut buku Ensiklopedia Matematika)

1)      Himpunan Bagian (Subset).

Himpunan A dikatakan  himpunan  bagian  (subset)  dari  himpunan B ditulis A ⊂ B ”, jika setiap anggota A merupakan anggota dari B.

Dinyatakan dengan simbol :   A ⊂  B 

Syarat :

A ⊂ B, dibaca : A himpunan bagian dari B

A ⊂ B, dibaca : A bukan himpunan bagian dari B

B  ⊂  A dibaca : B bukan himpunan bagian dari A

B  ⊂  A dibaca : B bukan himpunan bagian dari A

Contoh :

Misal   A = { 1,2,3,4,5 } dan B = { 2,4} maka         B ⊂ A

Sebab  setiap  elemen  dalam  B merupakan  elemen  dalam A,  tetapi  tidak sebaliknya.

Penjelasan : Dari definisi diatas himpunan bagian harus mempunyai unsur himpunan A  juga merupakan unsur himpunan B.artinya kedua himpunan itu harus saling berkaitan.

2)      Himpunan Kosong (Nullset)

Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai unsur anggota yang sama sama sekali.

Syarat :

Himpunan kosong = A atau { }

Himpunan kosong adalah tunggal

Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari setiap himpunan

Perhatikan : himpunan kosong tidak boleh di nyatakan dengan { 0 }.

Sebab : { 0 } ≠ { }

Contoh :

A = {x Î R |x2 + 4 = 0 }

Dalam hal ini jelas tidak ada harimau yang hidup di air  maka A = ø

Penjelasan : dari definisi diatas himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai satupun anggota, dan biasanya himpunan kosong dinotasikan dengan huruf yunani ø (phi).

3)      Himpunan Semesta

Himpunan semesta biasanya dilambangkan dengan “U” atau “S” (Universum) yang berarti himpunan yang memuat semua anggota yang dibicarakan atau kata lainya himpunan dari objek yang sedang dibicarakan. Biasanya hinpunan semesta ditetapkan sebelum kita membicarakan suatu himpunan dengan demikian seluruh himpunan lain dalam pembicaraan tersebut merupakan bagian dari himpunan pembicaraan.

Contoh : Apabila kita membicarakan himpunan A maka yang dapat menjadi himpunan semesta adalah: U = himpunan bilangan cacah

4)      Himpunan Berhingga

Himpunan A berhingga apabila A memiliki anggota himpunan tertentu atau n(A) = a, a  bilangan cacah. Dengan perkataan lain, himpunan berhingga adalah himpunan yang banyak anggotanya dapat dinyatakan dengan suatu bilangan cacah.

Contoh :

a. A =  karena                                                        n(A) = 0, 0  bilangan cacah.

b. B =                                                        n(B) = 75, 75  bilangan cacah.

5)      Himpunan Tak Berhingga

Himpunan A disebut himpunan tak berhingga apabila tidak memenuhi syarat himpunan berhingga. Himpunan A apabila anggota-anggotanya sedang dihitung, maka proses perhitunganya tidak akan berakhir. Dengan perkataan lain himpunan A, n banyak anggotanya tidak dapat ditentukan/ditulis dengan bilangan cacah.

Contoh :

Q=

Apabila kita menghitung anggota himpunan Q, maka proses perhitungan anggota Q tidak akan berakhir. Jadi Q adalah himpunan tak berhingga dan n(Q) = ~.

6)      Himpunan Sama (Equal)

Bila setiap anggota himpunan A juga merupakan anggota himpunan B, begitu pula sebaliknya.

Syarat : Dua buah himpunan anggotanya harus sama.

Contoh :

A ={ c,d,e}

B={ c,d,e }

Maka A = B

Penjelasan : Himpunan equal atau himpunan sama,memiliki dua buah himpunan yang anggotanya sama misalkan anggota himpunan A {c,d,e} maka himpunan B pun akan memiliki anggota yaitu { c,d,e }.

7)      Himpunan Lepas

Himpunan lepas adalah suatu himpunan yang anggota-anggotanya tidak ada yang sama.

Contoh  C = {1, 3, 5, 7}   dan  D = {2, 4, 6}  Maka himpunan C dan himpunan D saling lepas.

Catatan : Dua himpunan yang tidak kosong dikatakan saling lepas jika kedua himpunan itu tidak mempunyai satu pun anggota yang sama

8)      Himpunan Komplemen (Complement set)

Himpunan komplemen dapat di nyatakan dengan notasi AC . Himpunan komplemen jika di misalkan U = {1,2,3,4,5,6,7} dan A = {3,4,5} maka A ⊂ U. Himpunan {1,2,6,7} juga merupakan komplemen, jadi AC = {1,2,6,7}. Dengan notasi pembentuk himpunan ditulis : AC = {x│x Î U, x Ï A}

9)      Himpunan Ekuivalen (Equal Set)

Himpunan ekuivalen adalah himpunan yang anggotanya sama banyak dengan himpunan lain.

Syarat : Bilangan cardinal dinyatakan dengan notasi n (A) A≈B, dikatakan sederajat atau ekivalen, jika himpunan A ekivalen dengan himpunan B,

Contoh :

A = { w,x,y,z }→n (A) = 4

B = {  r,s,t,u   } →n  (B) = 4

Maka n (A) =n (B) →A≈B

Penjelasan : himpunan ekivalen mempunyai bilangan cardinal dari himpunan tersebut, bila himpunan A  beranggotakan 4 karakter maka himpunan B pun beranggotakan 4.

E.     Operasi pada Himpunan

a)      Gabungan

Gabungan (union) dari himpunan A dan B adalah himpunan yang setiap anggotanya merupakan anggota himpunan A atau himpunan B.

Notasi : A È B = {x | x Î A Ú x Î B}

Contoh :

S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9}, A = {1, 3, 5, 7} dan B = {0, 3, 7, 9}

b)      Irisan

Irisan (intersection) dari himpunan A dan B adalah himpunan yang setiap anggotanya merupakan anggota dari himpunan A dan anggota himpunan B.

Notasi : A Ç B = {x | x Î A Ù x Î B}

Contoh :

S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9}, A = {1, 3, 5, 7} dan B = {0, 3, 7, 9}

c)Komplemen

Komplemen himpunan A terhadap himpunan semesta S adalah himpunan yang anggotanya merupakan anggota S yang bukan anggota A.

Notasi : Ac = {x | x Î S Ù x Ï A} atau  = {x | x Î S Ù x Ï A}

Contoh :

S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9}, A = {1, 3, 5, 7}

d)     Selisih

Selisih himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya merupakan anggota himpunan A dan bukan anggota himpunan B. Selisih himpunan A dan B adalah komplemen himpunan B terhadap himpunan A.

Notasi : A – B = {x | x Î A Ù x Ï B} atau A – B = A Ç

Contoh :

S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A = {1, 2, 3, 7} dan B = {0, 3, 7, 9}         

e)Beda Setangkup

Beda Setangkup (symetric difference) dari himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya ada pada himpunan A atau B, tetapi tidak pada keduanya.

Notasi : A Å B = (A È B) – (A Ç B) atau : A Å B = (A – B) È (B – A)

Contoh :

S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A = {1, 2, 3, 7} dan B = {0, 3, 7, 9}

F.     Sifat-sifat Operasi pada Himpunan

1)      Hukum Identitas

                  a)      A È f = A

         b)      A Ç S = A

         c)      A Å f = A

2)      Hukum Null

                  a)      A Ç f = f

                  b)      A È S = S

                  c)      A Å A = f

3)      Hukum Komplemen

                  a)      A È Ac = S

                  b)      A Ç Ac = f

4)      Hukum Idempoten

                  a)      A È A = A

                  b)      A Ç A = A

5)      Hukum Involusi

                  (Ac)c = A

6)      Hukum Penyerapan

                  a)      A È (A Ç B) = S

b)            A Ç (A È B) = A

7)      Hukum Komutatif

                  a)      A È B = B È A

                  b)      A Ç B = B Ç A

                  c)      A Å B = B Å A

8)      Hukum Asosiatif

                  a)      A È (B È C) = (A È B) È C

                  b)      A Ç (B Ç C) = (A Ç B) Ç C

                  c)      A Å (B Å C) = (A Å B) Å C

9)      Hukum Distributif

                  a)      A È (B Ç C) = (A È B) Ç (A È C)

                  b)      A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C)

10)  Hukum De Morgan

                  a)      (A Ç B) c = A c È B c

                  b)      (A È B) c = A c Ç B c

G.    Manfaat Belajar Himpunan Dalam Kehidupan Sehari-Sehari

Dengan mempelajari himpunan, diharapkan kemampuan logika akan semakin terasah dan akan memacu kita agar kita mampu berpikir secara logis, karena dalam hidup, logika memiliki peran penting karena logika berkaitan dengan akal pikir. Banyak kegunaan logika antara lain:

1)      Membantu setiap orang yang mempelajari logika untuk berpikir secara rasional, kritis, lurus, tetap, tertib, metodis dan koheren.

2)      Meningkatkan kemampuan berpikir secara abstrak, cermat, dan objektif.

3)      Menambah kecerdasan dan meningkatkan kemampuan berpikir secara tajam dan mandiri.

4)      Memaksa dan mendorong orang untuk berpikir sendiri dengan menggunakan asas-asas sistematis.

5)      Meningkatkan cinta akan kebenaran dan menghindari kesalahan-kesalahan berpikir, kekeliruan serta kesesatan.

6)      Mampu melakukan analisis terhadap suatu kejadian.

H.    Contoh Penerapan Soal Himpunan Dalam Kehidupan Sehari-Hari

Berikut ini merupakan beberapa contoh kasus teori himpuanan dalam kehiupan sehari-hari.

Soal:

1.      Dalam sebuah kelas terdapat 40 orang siswa, 24 orang gemar musik 30 orang gemar olah raga dan 16 orang gemar keduanya. Tentukan banyaknya siswa yang gemar musik saja dan yang gemar olahraga saja?

2.      Dari survey 100 orang warga terdapat 60 orang gemar membaca 50 orang gemar menulis, 45 orang gemar melukis, 40 orang gemar melukis dan menulis, 35 orang gemar membaca dan melukis, 30 orang gemar ketiganya. Tentukan :

a)      Orang yang gemar melukis dan menulis saja

b)      Orang yang gemar membaca dan melukis saja

c)       Orang yang gemar membaca saja

d)     Orang yang gemar menulis saja

e)      Orang yang gemar melukis saja

f)       Orang yang tidak suka ketiganya

Penyelesaian:

1.      Perhatikan dalam soal tersebut terdapat dua himpunan siswa  yaitu siswa yang gemar musik dan siswa yang gemar olahraga. Siswa yang gemar keduanya sebanyak 16 orang. Dalam konsep himpunan, anggota yang gemar keduanya merupan anggota irisan sehingga dapat dicari siswa yang gemar musik saja dan siswa yang gemar olahraga saja. Perhatikan gambar berikut :

Karena irisan siswa yang gemar keduanya sebanyak  16 orang sehingga siswa yang hanya gemar Musik dan olah raga saja yaitu :

Musik = 24 – 16 = 8

Olahraga = 30 – 16 = 14

Dengan demikian  himpunan semestanya :

S = 8 + 14 +16 = 40 siswa.

2.      Dari soal nomor 2, terdapat tiga himpunan yang berbeda yaitu yang gemar membaca, menulis dan melukis. Untuk menyelesaikan soal tersebut, terlebih dahulu kita  cari irisan ketiganya. Sehingga dapat disimpulkan :

Misal : B = Membaca, N = Menulis, L = Melukis

a)      Orang yang gemar melukis dan menulis saja: 40 – 30 = 10 orang

b)      Orang yang gemar membaca dan menulis saja: 35 – 30 = 5 orang

c)      Orang gemar membaca saja: 60 – 30 – 5 = 25 orang

d)     Orang yang gemar menulis saja: 50 – 30 – 10 = 10 orang

e)      Orang yang gemar melukis saja: 45 – 45 = 0, maka orang yang gemar melukis saja merupakan himpunan kosong

f)       Orang yang tidak suka ketiganya: 100 – 25 – 30 – 5 – 10 – 10 = 20 orang

Peranan IPTEK dalam bidang Ekonomi, Sosial, dan Budaya

Peranan IPTEK dalam bidang Ekonomi, Sosial, dan Budaya

Telah kita ketahui bahwa IPTEK telah berkembang pesat dalam lapisan masyarakat. Hal tersebut mendukung berbagai peranan serta dampak IPTEK dalam berbagai bidang, seperti Bidang Ekonomi, Sosial, dan Budaya.

a) Bidang Ekonomi

Ekonomi adalah kebutuhan manusia, maka sipa yang dapat menguasai perekonomian, dialah yang memegang kekuasaan. Pada saat mata pencaharian utama manusia masih menyangkut soal tanah, kaum feodallah yang memegang kekuasaan. Sedangkan ketika industri memegang peranan penting dalam ekonomi maka kaum kapitalislah yang memegang peranan utama dalam penyediaan segala kebutuhan manusia. Sekarang kaum kapitalis industrialis telah banyak mengembangkan usahanya hingga melampaui batas negaranya yang disebut Multi National Corporation ( MNC ). Kadang – kadang perusahaan perusahaan multinasional ini di negara – negara berkembang ikut serta menentukan politik pemerintahan.

Perusahaan besar semacam itu tidak mungkin berkembang tanpa dukungan teknologi walaupun sebagian penduduk dunia masih hidup di bawah garis kemiskinan namun sebagian besar sudah dapat merasakan manfaat dipergunakannya teknologi modern, karena kebutuhan hidupnya dapat dengan mudah diperoleh dengan harga yang relative lebih murah. Cara pembayarannya pun dapat dilakukan dengan tunai atau kredit.

Pada bidang ekonomi, kemajuan IPTEK dapat dirasakan, hal ini terbukti karena saat ini banyak orang-orang yang kehidupannya makin sejahtera berkat usahanya dalam bidang IPTEK. Sebagai Contoh, kita dapat membuat software game yang saat ini sangat diminati oleh masyarakat terutama pada anak-anak. Selain itu, kita dapat memanfaatkan media elektronik lainnya untuk mengembangkan usaha kita. Dengan teknologi, kita juga dapat mempromosikan usaha-usaha kita :)

Dengan demikian, dapat kita simpulkan dampak positif dari IPTEK dalam bidang Ekonomi :

Pertumbuhan Ekonomi yang Semakin Tinggi

Terjadinya Industrialisasi

Produktifitas dunia industri semakin meningkat. Kemajuan teknologi, akan meningkatkan baik dari teknologi industri maupun pada aspek jenis produksi. investasi dan reinvestasi berlangsung secara besar-besaran, sehingga produktivitas dunia ekonomi semakin meningkat. Di masa depan, akan segera muncul teknologi bisnisyang memungkinkan konsumen melakukan kontak langsung dengan pabrik. Jadi, kita tidak perlu lagi pergi ke toko untuk membeli barang tersebut.

Persaingan dalam dunia kerja, akan menuntut pekerja untuk selalu menambah skill dan pengetahuan yang dimiliki. Kualifikasi tenaga kerja dan jumlah tenaga kerja yang dibutuhkan akan mengalami perubahan yang cepat. akibatnya, pendidikan yang diperlukan adalah pendidikan yang menghasilkan tenaga kerja yang mampu mentransformasikan pengetahuan dan skill sesuai dengan tuntutan tenaga kerja.

Mampu menjadikan produk kedokteran menjadi komoditri

Dan, dampak negatifnya, antara lain :

Terbukanya pasar bebas, memungkinkan produk luar negeri masuk dengan mudahnya. Dengan banyaknya produk luar negeri yang masuk dan dengan harga yang lebih murah, dapat mengurangi rasa kecintaan kita terhadap produk dalam negeri.

Terjadinya pengangguran bagi individu yang tidak memiliki skill dan kualifikasi sesuai dengan yang dibutuhkan

Sifat konsumtif sebagai akibat kompetisi yang ketat pada era globalisasi akan melahirkan generasi yang secara moral mengalami kemerosotan. Misalnya : konsumtif, boros dan memiliki jalan pintas yang bermental “instant”.

Apabila tidak update dengan IPTEK yang semakin maju, kita akan dipermainkan oleh orang-orang yang tidak bertanggung jawab yang sangat ahli dibidangnya (misalnya : hacker)

b) Bidang Sosial

Kehidupan sosial dipengaruhi oleh kemajuan teknologi. Kebutuhan manusia akan pangan sangat dipengaruhi oleh kemajuan teknologi dalam bidang pertanian. Sedangkan kebutuhan akan komunikasi dipengaruhi oleh teknologinya, seperti media cetak, media elektronik selain untuk berkomunikasi, juga dapat memperluas wawasan.

Dengan berkembangnya industri dan kegiatan ekonomi, maka memungkinkan orang hidup dalam lapangan pekerjaan tersebut. Hal tersebut dapat dilihat dari angka – angka yang menunjukan bahwa pekerja di pabrik atau perusahaan terus meningkat sedangkan bekerja di sector pertanian makin menurun.

Nilai social juga berubah. Pada masa lalu orang merasa bahwa menjadi pegawai negeri dinilai lebih tinggi status sosialnya dibandingkan para pedagang atau pengusaha. Sekarang menjadi pengusaha atau karyawan pabrik dianggap sebagai tenaga professional yang mempunyai nilai status yang tinggi.

Makin berkembangnya teknologi menyebabkan industri memproduksi barang secara massal juga meningkat. Tetapi sering kali juga dimanfaatkan untuk kepentingan yang negatif seperti peniruan atau pemalsusan merek dagang dan sebagainnya. Kian majunya masyarakat yang dibarengi dengan peningkatan jumlah penduduk, menyebabkan manusia sering kehilangan nilai etisnya dan mudah melakukan tindakan yang tercela dan melanggar hukum.

Dampak Positif :

Meningkatkan rasa percaya diri kemajuan ekonomi di negara-negara Asia melahirkan fenomena yang menarik. Perkembangan dan kemajuan ekonomi telah meningkatkan rasa percaya diri dan ketahanan diri sebagai suatu bangsa akan semakin kokoh. Bangsa-bangsa Barat tidak lagi melecehkan bangsa-bangsa di Asia.

Tekanan, kompetisi yang tajam, di pelbagai aspek kehidupan sebagai konsekuensi globalisasi, akan melahirkan generasi yang disiplin, tekun, dan pekerja keras.

keefektifan biaya dan waktu. Misalnya saat mengajar, kini telah ada teknologi pembelajaran secara online, jadi guru atau dosen tidak perlu repot untuk datang ke sekolah atau kampus, cukup menerangkan pelajaran lewat media internet kepada anak muridnya.

Masyarakat tidak perlu lagi membeli koran untuk mengetahui informasi mengenai berita, cukup dengan membuka internet, kita sudah dapat membaca berita melalui media online, dan tidak mengeluarkan biaya.

Dampak Negatifnya :

Kenakalan dan tindak penyimpangan dikalangan remaja dengan mengakses situs porno, dan oknum-oknum yang menggunakan media facebook, twitter, dll sebagai media porstitusi yang sudah jelas dapat merusak moral para generasi muda.

Melemahkan rasa gotong-royong dan saling tolong-menolong yang menjadi ciri khas masyarakat Indonesia.

Manusia menjadi malas. Karena telah dimanjakan oleh teknologi, sehingga kita tidak perlu repot bertemu dengan seseorang. Dengan teknologi, kita tetap dapat bertatap muka meskipun tidak bertemu dengan orang tersebut.

Masyarakat memang banyak yang mengeluh mengenai dampak negatif dari kemajuan teknologi. Namun kegiatannya tetap dilakukan karena memikirkan lebih banyak untung daripada ruginya. Meskipun dampak negatif tidak lebih banyak dari pada dampak positifnya, kita tetap harus menghindarinya, karena dampak yang kecil juga dapat menimbulkan dampak lain yang lebih besar.

c) Bidang Budaya

Budaya atau kebudayaan adalah kerangka acuan bagi perilaku masyarakat pendukungnya yang berupa nilai-nilai (kebenaran, keindahan, keadilan, kemanusiaan, dll) yang berpengaruh sebagai kerangka untuk membentuk pandangan hidup manusia yang relatif menetap dan dapat dilihat dari warga budaya itu untuk menentukan sikapnya terhadap berbagai gejala dan peristiwa kehidupan.

Budaya dapat berwujud tiga hal, yaitu idea tau gagasan, tingkah laku atau tindakan dan benda atau barang yang dihasilkan oleh manusia. Jadi budaya mempunyai pengertian yang luas.

Seperti telah diuraikan di atas, teknologi dan industri mempunyai dampak positif dan negatif. Karena itu hendaknya teknologi secara efektif mampu memerangi kemiskinan, keterbelakangan dan menjamin kemajuan bagi bangsa manusia. Manusia juga perlu sadar bahwa orang menciptakan sesuatu bukan untuk menghancurkan, melainkan untuk kesejahteraan umat.

Jadi, bagaimana IPTEK mempengaruhi masyarakat dalam kebudayaan, itu semua tergantung pada diri masyarakatnya sendiri. Masyarakat harus selektif dan dapat bersifat kritis terhadap perkembangan IPTEK yang semakin pesat. Hendaknya kita menggunakan teknologi tersebut seperlu dan sepentingnya kita saja, jangan karena teknologi, semua menjadi terlupakan, baik itu waktu, kewajiban beribadah, sosialisasi di masyarakat sekitar, dll.

Dampak Positif :

Semakin berkembangnya daya pikir individu dalam suatu bidang, baik dari segi ekonomi, politik, pendidikan, dan lain sebagainya.

Kemampuan individu dalam mencari dan mengumpulkan data untuk bahan diskusi dapat mereka dapatkan dengan cepat dan akurat melalui media berbasis teknologi.

Dampak Negatif :

Penyalahgunaan media teknologi sebagai sarana pencarian yang tidak ada hubungannya dengan ilmu pengetahuan. Haltersebut dapat membentuk kebudayaan yang rendah akan moral dan sumber daya manusia yang bobrok dan tak berkualitas sedikitpun.

Sumber :

http://www.docstoc.com/docs/80097187/PENGARUH-IPTEK-TERHADAP-SOSIAL-EKONOMI-DAN-BUDAYA

http://ari-dwi-prasetyo.blog.ugm.ac.id/2012/03/01/dampak-perkembangan-teknologi-informasi-terhadap-kehidupan-sosial-di-masa-depan/

http://dirimu.files.wordpress.com/2010/03/ilmu-budaya-dasar.pdf

http://s3fti.wordpress.com/2011/10/27/manfaat-it-dalam-bidang-ekonomi-dan-industri/

http://rrestiyani.blogspot.com/2012/04/peranan-iptek-terhadap-bidang-sosial.html

http://nunuhnugraha29indo2c.blogspot.com/2011/06/lanjutan-dari-materi-manusia-sain-dan_15.html

Iptek dan perkembangannya

IPTEK dan Perkembangannya

Seperti yang telah kita ketahui, teknologi sudah semakin berkembang pesat baik dari kalangan atas, menengah dan kalangan bawah sekalipun. Upaya tersebut merupakan jalan untuk mewujudkan kesejahteraan dan meningkatan harkat dan martabat manusia.

Di satu sisi, telah terjadi perkembangan IPTEK dalam hal telekomunikasi yang sangat baik sekali. Namun pembangunan IPTEK tersebut masih belum merata. masih banyak masyarakat yang kurang mampu yang tidak mendapatkan pengetahuan mengenai teknologi tersebut. Hal ini dikarenakan tingginya biaya pendidikan yang harus mereka tanggung. Oleh karena itu, pemerintah perlu menyikapi masalah-masalah tersebut, agar peranan IPTEK dapat tersebar merata dan dapat meningkatkan SDM yang ada.

Berikut salah satu contoh adalah perkembangan teknologi telefon genggam.

Pesawat telfon pertama kali ditemukan oleh Alexander Graham Bell, yang berasal dari Italy. Mulanya, alat komunikasi tersebut bekerja hanya melalui suara lewat penghantar udara, dan alatnyapun masih sangat sederhana. Namun sekarang, sebagaimana kita ketahui begitu pesatnya perkembangan teknologi ini. Dengan adanya pesawat telfon, maka terciptalah berbagai alat teknologi komunikasi lainnya, seperti Telefon, Handphone, Modem, dll.

Dahulu, Handphone merupakan alat yang masih tabu untuk digunakan, hal ini dikarenakan software didalamnya yang masih sangat sederhana. Kesederhanaan tersebut hanya berfungsi sebagai alat komunikasi yang digunakan sebagai penerima dan penghubung suara dan pesan pendek.

Sekitar tahun 1996, teknologi HP mulai berkembang dari tampilannya yang terdapat colour di dalamnya. Sekarang, HP telah memiliki berbagai aplikasi didalamnya, seperti kamera, MP3, video, games, dll. Bahkan kini, HP telah menggunakan setting internet untuk memudahkan kita mencari berbagai informasi bahkan mencari teman sekalipun (contoh : facebook, twitter, dll).

Sejarah Pertumbuhan dan Perkembangan IPTEK

Berikut ini, saya akan membahas mengenai pertumbuhan dan perkembangan IPTEK yang dimulai dari zaman Purba hingga zaman Modern.

a) Zaman Purba (4 juta tahun yang lalu)

     Dikenal dengan zaman batu. Ciri ilmu yang dikembangkan adalah kemampuan mengamati, membedakan, memilih, dan melakukan percobaan. Hasil dari periode ini adalah pembuatan alat-alat batu, yang kemudian disempurnakan dengan besi dan perunggu, juga sistem bercocok tanam.

Cultivation period (Neolithicum)

b) Zaman Yunani (600-200SM)

  Para pemikiran filsuf sangat berpengaruh pada zaman ini. Dan zaman Yunani ini merupakan babak dimulainya teknologi, antara lain dalil-dalil, seperti phytagoras, archimedes, dll.

PHYTAGORAS

Dalam pelajaran matematika, kita sering mendengar tentang "rumus Phytagoras". ya, teori ini mengatakan bahwa jumlah kuadrat dari dua sisi segitiga siku-siku sama dengan kuadrat dari sisi ketiga atau sisi miring yang disebut hypotenusa. Selain di bidang penyelidikan angka-angka, phytagoras juga menyelidiki bidang astronomi. Ia bukan hanya memandang bumi berbentuk bola, melainkan bintang-bintang satu persatu sebagai bola-bola terang yang berputar keliling api sentral dalam pinggan-pinggan transparan berbentuk bola, yaitu angkasa-angkasa.

ARCHIMEDES

Hukum Archimedes mengatakan bahwa apabila sebuah benda sebagian atau sepenuhnya terbenam kedalam air, maka benda tersebut akan mendapat gaya tekan yang mengarah keatas yang besarnya sama dengan berat air yang dipindahkan oleh bagian benda yang terbenam tersebut.

Penemuan Archimedes lainnya adalah mengenai sistem tuas. Archimedes mengembangkan teori untuk menghitung beban yang dibutuhkan untuk pengungkit tersebut. Selain itu, teknologi yang diciptakan lainnya adalah "Archimedes Screw", yaitu peralatan untuk menaikkan air yang masih digunakan di Mesir, untuk irigasi, pengeringan lahan, dll.

c) Zaman Modern (658 M - Sekarang)

Zaman Modern diawali dengan zaman Renaissance (fase kebangkitan kembali IPTEK di Eropa). Orang mulai mengandalkan kekuatan rasio (akal), dan meninggalkan dogma-dogma agama. Ilmuwan zaman modern yang kini menjadi nomer satu di dunia adalah William Henry Gates atau dikenal dengan nama Bill Gates, pemilik microsoft corporation bersama sahabatnya Paul Allen.

Bill Gates

Paul Allen

Tingkatan Teknologi Berdasarkan Penerapannya

Teknologi Tinggi (Hi-Tech). Suatu jenis teknologi mutakhir yang dikembangkan dari hasil penerapan ilmu pengetahuan terbaru. Contoh : Computer, Laser, Bioteknologi, Satelit Komunikasi, dll. Ciri-ciri teknologi ini adalah padat modal, didukung fasilitas riset, dan pengembangannya, biaya perawatan tinggi, keterampilan operator yang tinggi, dan masyarakat penggunanya ilmiah.

Teknologi Madya. Suatu jenis teknologi yang dapat dikembangkan dan didukung masyarakat yang lebih sederhana dan dapat digunakan dengan biaya dan kegunaan yang paling menguntungkan. Ciri teknologi madya adalah tidak memerlukan modal yang terlalu besar, dan tidak memerlukan pengetahuan baru, karena telah bersifat rutin. Penerapan teknologi madya ini bersifat setengah padat modal dan padat karya. unsur-unsur yang mengandung industrinya biasanya dapat diperoleh didalam negeri dan keterampilan pekerjaannya yang tidak terlalu tinggi.

Teknologi Cepat Guna. Teknologi Tepat Guna. Teknologi ini dicirikan dengan skala modal kecil, peralatan yang digunakan sederhana dan pelaksanaannya bersifat padat karya. Biasanya dilakukan di negara – negara berkembang, karena dapat membantu perekonomian pedesaan, mengurangi urbanisasi dan menciptakan tradisi teknologi dari tingkat paling sederhana.

Sumber :

http://nengmelly.wordpress.com/definisi-iptek-dan-perkembangannya/

http://wartawarga.gunadarma.ac.id/2010/01/definisi-iptek-dan-perkembangannya/

http://wartawarga.gunadarma.ac.id/2010/01/perkembangan-iptek-di-indonesia/

http://sejarah.kompasiana.com/2011/10/25/pertumbuhan-dan-perkembangan-iptek/

http://www.slideshare.net/FitriyanaMigumi/fisika-yunani-thales-copernicus-archimedes-thyco-brahe-dan-demokritos

http://auratokoh.blogspot.com/2009/10/pythagoras-sang-mahaguru-filsafat-angka.html

http://azenismail.wordpress.com/2010/05/14/manusia-sains-dan-teknologi/

fisika

Sifat Fisika, Cabang-cabang Fisika dan Hubungannya dengan Pengetahuan Lain

Mekanika adalah satu cabang fisika yang mempelajari tentang gerak.Mekanika klasik terbagi atas 2 bagian yakni Kinematika danDinamika.

·         kinematika membahas bagaimana suatu objek yang bergerak tanpa Menyelidiki sebab-sebab apa yang menyebabkan suatu objek bergerak.

·         dinamika mempelajari bagaimana suatu objek yang bergerak dengan menyelidiki penyebab.

Mekanika kuantum adalah cabang dasar fisika yang menggantikan mekanika klasik pada tataran atom dan subatom

Mekanika fluida adalah cabang ilmu fisika yang mempelajari fluida (yang dapat berupa cairan dan gas)

Yang berkaitan dengan listrik dan magnet :

·         Elektronika adalah ilmu yang mempelajari alat listrik arus lemah yang dioperasikan dengan cara mengontrol aliran elektron atau partikel bermuatan listrik dalam suatu alat seperti komputer, peralatan elektronik, termokopel, semikonduktor, dan lain sebagainya.

·         Teknik Elektro atau Teknik listrik (bahasa Inggris: electrical engineering) adalah salah satu bidang ilmu teknik mengenai aplikasi listrik untuk memenuhi kebutuhan masyarakat.

·         Elektrostatis adalah ilmu yang mempelajari listrik statis

·         Elektrodinamis adalah ilmu yang mempelajari listrik dinamis

·         Bioelektromagnetik adaIah disiplin ilmu yang mempelajari fenomena listrik, magnetik dan elektromagnetik yang muncul pada jaringan makhluk bidup.

Termodinamika adalah kajian tentang energi atau panas yang berpindah

Fisika inti adalah ilmu fisika yang mengkaji atom / bagian-bagian atom

Fisika Gelombang adalah cabang ilmu fisika yang mempelajari tentang gelombang

Fisika Optik (Geometri) adalah ilmu fisika yang mempelajari tentang cahaya.

Kosmografi/astronomi adalah ilmu mempelajari tentang perbintangan dan benda- benda angkasa.

Fisika Kedokteran (Fisika Medis) membahas bagaimana penggunaan ilmu fisika dalam bidang kedokteran (medis), di antaranya:

·         Biomekanika meliputi gaya dan hukum fluida dalam tubuh

·         Bioakuistik (bunyi dan efeknya pada sel hidup/ manusia)

·         Biooptik (mata dan penggunaan alat-alat optik)

·         Biolistrik (sistem listrik pada sel hidup terutama pada jantung manusia)

Fisika radiasi adalah ilmu fisika yang mempelajari setiap proses di mana energi bergerak melalui media atau melalui ruang, dan akhirnya diserap oleh benda lain.

Fisika Lingkungan adalah Ilmu yang mempelajari kaitan fenomena fisika dengan lingkungan. Beberapa di antaranya antara lain :

·         Fisika Tanah dalam/Bumi

·         Fisika Tanah Permukaan

·         Fisika udara

·         Hidrologi

·         Fisika gempa (seismografi fisik)

·         Fisika laut (oseanografi fisik)

·         Meteorologi

·         Fisika awan

·         Fisika Atmosfer

Geofisika adalah perpaduan antara ilmu fisika, geografi, kimia dan matematika. Dari segi Fisika yang dipelajari adalah:

·         Ilmu Gempa atau Seismologi yang mempelajari tentang gempa

·         Magnet bumi

·         Gravitasi termasuk pasang surut dan anomali gravitasi bumi

·         Geo-Elektro (aspek listrik bumi), dll

Selain yang diuraikan di atas, seiring perkembangan zaman, ilmu fisika telah menjadi bagian dari segi kehidupan, misalnya

·         Ekonomifisika yang merupakan aplikasi fisika dalam bidang ekonomi

·         Fisika Komputasi adalah solusi persamaan-persamaan Fisika- Matematik dengan menggunakan , dan lain- lain yang mengakibatkan fisika itu selalu ada dalam berbagai aspek.

Sifat-sifat fisika dan kimia

Sifat Fisika

Sifat yang tidak mengubah sifat kimia suatu materi. Karakteristik fisika bau, kekerasan, titik didih, wujud materi.

Sifat Kimia

Sifat yang mengubah sifat kimia suatu materi. Menerangkan bagaimana suatu materi bereaksi dengan materi yang lain membentuk suatu materi baru.

Ciri-ciri yang mengindikasikan adanya perubahan kimia :

 Perubahan warna

 Perubahan bau

Pembentukan gas

Timbulnya cahaya

Pembentukan endapan baru

Perubahan pH.

Perubahan Fisika dan Kimia

Perubahan Fisika

Suatu materi mengalami perubahan fisika, adalah perubahan zat yang bersifat sementara, seperti perubahan wujud, bentuk atau ukuran. Perubahan ini tidak menghasilkan zat baru.

Jika kita memanaskan es, maka es tersebut akan berubah menjadi air, selanjutnya jika kita panaskan terus maka air akan berubah menjadi uap air.

Peristiwa ini hanya menunjukan perubahan wujud dimana es, adalah air yang berbentuk padat, dan air yang berbentuk cair, dan uap air adalah air yang berbentuk gas. Tampak bahwa zat masih tetap air. Berbagai macam perubahan wujud adalah contoh perubahan fisika. Beberapa contoh di bawah ini, adalah perubahan wujud yang mudah kita amati.

Proses membeku, perubahan dari zat cair menjadi zat padat karena terjadi penurunan suhu, membuat es dan membuat agar-agar atau jelly adalah proses yang sering dilakukan oleh ibu kita.

Penyubliman adalah peristiwa perubahan zat padat berubah menjadi gas. Dalam kehidupan sehari-hari  mudah kita jumpai, misalnya kapur barus yang menyublim menjadi gas berbau wangi. Menghablur merupakan peristiwa perubahan gas menjadi padatan, peristiwa ini sering disebut juga dengan pengkristalan. Proses di laboratorium dapat dilakukan untuk membuat kristal amonium sulfat yang berasal dari gas amonia dan belerang dioksida.

Perubahan wujud yang lain adalah menguap, mencair dan mengembun. Peristiwa ini dapat diamati pada peristiwa hujan. Peristiwa ini diawali dengan penguapan air ke udara,  selanjutnya mencair kembali dan kembali ke permukaan bumi.

Perubahan bentuk juga termasuk dalam perubahan fisika, misalnya gandum yang digiling menjadi tepung terigu. benang dipintal menjadi kain dan batang pohon dipotong-potong menjad kayu balok, papan dan triplek.

Perubahan Kimia

Perubahan kimia merupakan yang bersifat kekal dengan menghasilkan zat baru. Perubahan kimia disebut juga reaksi kimia. Untuk mempermudah, dapat kita lakukan percobaan sederhana.

Batang kayu kita ambil dan dibakar, Batang kayu tersebut berubah menjadi abu, asap dan disertai keluarnya panas. Abu, asap dan panas yang keluar tidak berubah kembali menjadi batang kayu.

Perubahan yang terjadi kekal dan menjadi ciri perubahan kimia, dengan kata lain, zat sebelum bereaksi berbeda dengan zat sesudah bereaksi.

Beberapa contoh lain adalah :

Pembakaran bahan bakar, bensin atau solar menghasilkan zat cair dan asap serta energi yang dapat menggerakkan kendaraan bermotor.

Proses fotosiontesa pada tumbuhan yang memiliki zat hijau daun, mengubah air, gas karbon dioksida dan bantuan cahaya matahari dapat diubah menjadi makanan atau karbohidrat,

Pemanasan batu kapur menghasil kapur tohor dan gas karbondioksida.

 Sumber :

http://www.chem-is-try.org/materi_kimia/kimia-smk/kelas_x/perubahan-fisika-dan-kimia/

http://kamuspengetahuan.blogspot.com/2011/12/cabang-cabang-ilmu-fisika.html

http://materiilmupelajaran.blogspot.com/2011/04/perubahan-fisika-dan-kimia.html